背包问题，一直以来雄踞Google、Facebook等一线大公司面试题型必考榜首，同时，也是一不留神就会跪的面试题。

 

一听背包问题就发怵？其实，背包问题也没那么难。

 

1.什么是背包问题？

背包问题 (Knapsack problem) 是一种组合优化的NP完全问题。

 

一般来说，就是给定一组有固定价值和固定重量的物品，以及一个已知最大承重量的背包，求在不超过背包最大承重量的前提下，能放进背包里面的物品的最大总价值。

如果用一句话形象地描述，大概就是：有个小偷半夜闯入豪宅，可以偷的东西非常多，但是负重能力有限，偷哪些东西才更加不枉此行？（误）

 

这一类问题是典型的使用动态规划解决的问题，我们可以把背包问题分成3种不同的子问题：0-1背包问题、完全背包和多重背包问题，剩下一些都是这3种的变形以及组合。

 

• 01背包

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包，第 i 件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

 

• 完全背包

有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用，第 i 件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

 

• 多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包，第 i 种物品最多有 Mi 件可用，每件物品消耗的容量为 Ci，价值为 Wi，求解放入哪些物品可以使得背包中总价值最大。

 

2.背包问题的难点在哪里？

三种背包问题都有一个共同的限制，那就是背包容量，背包的容量是有限的，这便限制了物品的选择，而三种背包问题的共同目的，便是让背包中的物品价值最大。

 

不同的地方在于物品数量的限制，不过虽然三种背包问题对于物品数量的限制不一样，但都可以转化为01背包问题来进行思考。 所以说，01背包问题是所有背包问题的基础，弄懂了01背包问题后，完全背包和多重背包就没有什么困难的地方了。

但真正在面试中，你可能会遇到很多背包问题的变形。如果你没有一双火眼金睛，一眼看出题目的本质其实是个背包问题，你可能会走很多弯路。

 

如：

• Target sum 问题（LintCode链接：www.lintcode.com/problem/target-sum）

• Airbnb的menu order 问题（点菜，菜的价格为double, 问如何正好花完手中的钱）

本质上都是背包问题，很多同学没有看透问题的真面目，会觉得每道题都是独立的，很难做到举一反三，于是就深陷其中不得章法，如果把背包问题的几种类型都弄懂，类似的很多题其实都能迎刃而解了。

 

3.经典背包问题及其题解

背包问题都有哪些经典例题呢？

 

• 01背包

在N个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？

假设背包的大小为V，第i个物品的大小为C[i]

注意:你不可以将物品进行切割。

• LintCode链接：

  https://www.lintcode.com/problem/backpack

• 题解链接：

  https://www.jiuzhang.com/solution/backpack/

 

有N件物品和一个容量为V的背包。放入第i件物品耗费的费用是Ci，得到的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大？

• LintCode链接：

  https://www.lintcode.com/problem/backpack-ii/

• 题解链接：

  https://www.jiuzhang.com/solution/backpack-ii/

 

• 完全背包

给出一个都是正整数的数组 nums，其中没有重复的数。从中找出所有的和为 target 的组合个数。

注意：一个数可以在组合中出现多次。数的顺序不同则会被认为是不同的组合。

• LintCode链接：

  https://www.lintcode.com/problem/combination-sum-iv

• 题解链接：

  https://www.jiuzhang.com/solution/combination-sum-iv/

 

4.经典学习资料

学习资料：

关于背包问题，最经典的讲义莫过于《背包问题九讲》

下载链接：

https://github.com/tianyicui/pack/blob/master/V2.pdf

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