一、什么是聚类

1.1 聚类的定义

聚类(Clustering)是按照某个特定标准(如距离)把一个数据集分割成不同的类或簇，使得同一个簇内的数据对象的相似性尽可能大，同时不在同一个簇中的数据对象的差异性也尽可能地大。也即聚类后同一类的数据尽可能聚集到一起，不同类数据尽量分离。

1.2 聚类和分类的区别

• 聚类(Clustering)：是指把相似的数据划分到一起，具体划分的时候并不关心这一类的标签，目标就是把相似的数据聚合到一起，聚类是一种 无监督学习(Unsupervised Learning)方法。
• 分类(Classification)：是把不同的数据划分开，其过程是通过训练数据集获得一个分类器，再通过分类器去预测未知数据，分类是一种 监督学习(Supervised Learning)方法。

1.3 聚类的一般过程

1. 数据准备：特征标准化和降维
2. 特征选择：从最初的特征中选择最有效的特征，并将其存储在向量中
3. 特征提取：通过对选择的特征进行转换形成新的突出特征
4. 聚类：基于某种距离函数进行相似度度量，获取簇
5. 聚类结果评估：分析聚类结果，如 距离误差和(SSE)等

1.4 数据对象间的相似度度量

对于数值型数据，可以使用下表中的相似度度量方法。

Minkowski距离就是 范数（ )，而 Manhattan 距离、Euclidean距离、Chebyshev距离分别对应  时的情形。

1.5 cluster之间的相似度度量

除了需要衡量对象之间的距离之外，有些聚类算法（如层次聚类）还需要衡量cluster之间的距离 ，假设 和  为两个 cluster，则前四种方法定义的  和   之间的距离如下表所示：

• Single-link定义两个 cluster之间的距离为两个 cluster之间距离最近的两个点之间的距离，这种方法会在聚类的过程中产生 链式效应，即有可能会出现非常大的 cluster
• Complete-link定义的是两个 cluster之间的距离为两个``cluster 之间距离最远的两个点之间的距离，这种方法可以避免链式效应`,对异常样本点（不符合数据集的整体分布的噪声点）却非常敏感，容易产生不合理的聚类
• UPGMA正好是 Single-link和 Complete-link方法的折中，他定义两个 cluster之间的距离为两个 cluster之间所有点距离的平均值
• 最后一种 WPGMA方法计算的是两个 cluster 之间两个对象之间的距离的加权平均值，加权的目的是为了使两个 cluster 对距离的计算的影响在同一层次上，而不受 cluster 大小的影响，具体公式和采用的权重方案有关。

二、数据聚类方法

数据聚类方法主要可以分为划分式聚类方法(Partition-based Methods)、基于密度的聚类方法(Density-based methods)、层次化聚类方法(Hierarchical Methods)等。

2.1 划分式聚类方法

划分式聚类方法需要事先指定簇类的数目或者聚类中心，通过反复迭代，直至最后达到"簇内的点足够近，簇间的点足够远"的目标。经典的划分式聚类方法有k-means及其变体k-means++、bi-kmeans、kernel k-means等。

2.1.2 k-means算法

经典的k-means算法的流程如下：

1. 创建 个点作为初始质心(通常是随机选择)
2. 当任意一个点的簇分配结果发生改变时
1. 对每个质心
2. 将数据点分配到距其最近的簇
3. 计算质心与数据点之间的距离
4. 对数据集中的每个数据点
5. 对每个簇，计算簇中所有点的均值并将均值作为质心

经典k-means源代码，下左图是原始数据集，通过观察发现大致可以分为4类，所以取 ，测试数据效果如下右图所示。

看起来很顺利，但事情并非如此，我们考虑k-means算法中最核心的部分，假设 是数据点， 是初始化的数据中心，那么我们的目标函数可以写成

这个函数是非凸优化函数，会收敛于局部最优解，可以参考证明过程。举个🌰， ，则

该函数的曲线如下图所示

可以发现该函数有两个局部最优点，当时初始质心点取值不同的时候，最终的聚类效果也不一样，接下来我们看一个具体的实例。

在这个例子当中，下方的数据应该归为一类，而上方的数据应该归为两类，这是由于初始质心点选取的不合理造成的误分。而 值的选取对结果的影响也非常大，同样取上图中数据集，取 ，可以得到下面的聚类结果：

一般来说，经典k-means算法有以下几个特点：

1. 需要提前确定 值
2. 对初始质心点敏感
3. 对异常数据敏感

2.1.2 k-means++算法

k-means++是针对k-means中初始质心点选取的优化算法。该算法的流程和k-means类似，改变的地方只有初始质心的选取，该部分的算法流程如下

1. 随机选取一个数据点作为初始的聚类中心
2. 当聚类中心数量小于  
1. 计算每个数据点与当前已有聚类中心的最短距离，用 表示，这个值越大，表示被选取为下一个聚类中心的概率越大，最后使用轮盘法选取下一个聚类中心

k-means++源代码，使用k-means++对上述数据做聚类处理，得到的结果如下

2.1.3 bi-kmeans算法

一种度量聚类效果的指标是SSE(Sum of Squared Error)，他表示聚类后的簇离该簇的聚类中心的平方和，SSE越小，表示聚类效果越好。bi-kmeans是针对kmeans算法会陷入局部最优的缺陷进行的改进算法。该算法基于SSE最小化的原理，首先将所有的数据点视为一个簇，然后将该簇一分为二，之后选择其中一个簇继续进行划分，选择哪一个簇进行划分取决于对其划分是否能最大程度的降低SSE的值。

该算法的流程如下：

1. 将所有点视为一个簇
2. 当簇的个数小于 时
1. 计算总误差
2. 在给定的簇上面进行 k-means聚类( )
3. 计算将该簇一分为二之后的总误差
4. 对每一个簇
5. 选取使得误差最小的那个簇进行划分操作

bi-kmeans算法源代码，利用bi-kmeans算法处理上节中的数据得到的结果如下图所示。

这是一个全局最优的方法，所以每次计算出来的SSE值肯定也是一样的，我们和前面的k-means、k-means++比较一下计算出来的SSE值

可以看到，k-means每次计算出来的SSE都较大且不太稳定，k-means++计算出来的SSE较稳定并且数值较小，而bi-kmeans每次计算出来的SSE都一样(因为是全局最优解)并且计算的SSE都较小，说明聚类的效果也最好。

2.2 基于密度的方法

k-means算法对于凸性数据具有良好的效果，能够根据距离来讲数据分为球状类的簇，但对于非凸形状的数据点，就无能为力了，当k-means算法在环形数据的聚类时，我们看看会发生什么情况。

从上图可以看到，kmeans聚类产生了错误的结果，这个时候就需要用到基于密度的聚类方法了，该方法需要定义两个参数 和 ，分别表示密度的邻域半径和邻域密度阈值。DBSCAN就是其中的典型。

2.2.1 DBSCAN算法

首先介绍几个概念，考虑集合 ， 表示定义密度的邻域半径，设聚类的邻域密度阈值为 ，有以下定义：

• 邻域( -neighborhood）
  
  

• 密度(desity)  的密度为

• 核心点(core-point)

设 ，若 ，则称 为 的核心点，记 中所有核心点构成的集合为 ，记所有非核心点构成的集合为 。

• 边界点(border-point)

若 ，且 ，满足

即 的 邻域中存在核心点，则称 为 的边界点，记 中所有的边界点构成的集合为 。

此外，边界点也可以这么定义：若 ，且 落在某个核心点的 邻域内，则称 为 的一个边界点，一个边界点可能同时落入一个或多个核心点的 邻域。

• 噪声点(noise-point)

若 满足

则称 为噪声点。

如下图所示，设 ，则A为核心点，B、C是边界点，而N是噪声点。

该算法的流程如下：

1. 标记所有对象为unvisited
2. 当有标记对象时
1. 创建一个新的簇 ，并把 放入 中
2. 设 是 的 邻域内的集合，对 中的每个点  
3. 保存
4. 标记 为visited
5. 如果 的 邻域至少有 个对象，则把这些点添加到
6. 如果 还不是任何簇的成员，则把 添加到
7. 如果点 是unvisited
8. 随机选取一个unvisited对象
9. 标记 为visited
10. 如果 的 邻域内至少有 个对象，则
11. 否则标记 为噪声

构建 邻域的过程可以使用kd-tree进行优化，循环过程可以使用Numba、Cython、C进行优化，DBSCAN的源代码，使用该节一开始提到的数据集，聚类效果如下

聚类的过程示意图

当设置不同的 时，会产生不同的结果，如下图所示

当设置不同的 时，会产生不同的结果，如下图所示

一般来说，DBSCAN算法有以下几个特点：

1. 需要提前确定 和 值
2. 不需要提前设置聚类的个数
3. 对初值选取敏感，对噪声不敏感
4. 对密度不均的数据聚合效果不好

2.2.2 OPTICS算法

在DBSCAN算法中，使用了统一的 值，当数据密度不均匀的时候，如果设置了较小的 值，则较稀疏的cluster中的节点密度会小于 ，会被认为是边界点而不被用于进一步的扩展；如果设置了较大的 值，则密度较大且离的比较近的cluster容易被划分为同一个cluster，如下图所示。

• 如果设置的 较大，将会获得A,B,C这3个 cluster
• 如果设置的 较小，将会只获得C1、C2、C3这3个 cluster

对于密度不均的数据选取一个合适的 是很困难的，对于高维数据，由于维度灾难(Curse of dimensionality), 的选取将变得更加困难。

怎样解决DBSCAN遗留下的问题呢？

The basic idea to overcome these problems is to run an algorithm which produces a special order of the database with respect to its density-based clustering structure containing the information about every clustering level of the data set (up to a "generating distance"  ), and is very easy to analyze.

即能够提出一种算法，使得基于密度的聚类结构能够呈现出一种特殊的顺序，该顺序所对应的聚类结构包含了每个层级的聚类的信息，并且便于分析。

OPTICS(Ordering Points To Identify the Clustering Structure, OPTICS)实际上是DBSCAN算法的一种有效扩展，主要解决对输入参数敏感的问题。即选取有限个邻域参数   进行聚类，这样就能得到不同邻域参数下的聚类结果。

在介绍OPTICS算法之前，再扩展几个概念。

• 核心距离(core-distance)

样本 ，对于给定的 和 ，使得 成为核心点的最小邻域半径称为 的核心距离，其数学表达如下

其中， 表示在集合 中与节点 第 近邻的节点，如 表示 中与 最近的节点，如果 为核心点，则必然会有 。

• 可达距离(reachability-distance)

设 ，对于给定的参数 和 ， 关于 的可达距离定义为

特别地，当 为核心点时，可以按照下式来理解 的含义

可达距离的意义在于衡量 所在的密度，密度越大，他从相邻节点直接密度可达的距离越小，如果聚类时想要朝着数据尽量稠密的空间进行扩张，那么可达距离最小是最佳的选择。

举个🌰，下图中假设 ，半径是 。那么 点的核心距离是 ，点2的可达距离是 ，点3的可达距离也是 ，点4的可达距离则是 的距离。

OPTICS源代码，算法流程如下：

1. 标记所有对象为unvisited，初始化order_list为空
2. 当有标记对象时
1. 初始化seed_list种子列表
2. 调用insert_list()，将邻域对象中未被访问的节点按照可达距离插入队列seeld_list中
3. 当seed_list列表不为空
4. 调用insert_list()，将邻域对象中未被访问的节点按照可达距离插入队列seeld_list中
5. 按照可达距离升序取出seed_list中第一个元素
6. 标记 为visited，插入结果序列order_list中
7. 如果 的 邻域内至少有 个对象，则
8. 随机选取一个unvisited对象
9. 标记 为visited，插入结果序列order_list中
10. 如果 的 邻域内至少有 个对象，则

算法中有一个很重要的insert_list()函数，这个函数如下：

1. 对 中所有的邻域点
2. 如果 未被访问过
1. 如果 $rd(k,i)
2. 更新 的值，并按照可达距离重新插入seed_list中
4. 将节点 按照可达距离插入seed_list中
5. 计算
6. 如果  
7. 否则

OPTICS算法输出序列的过程：

该算法最终获取知识是一个输出序列，该序列按照密度不同将相近密度的点聚合在一起，而不是输出该点所属的具体类别，如果要获取该点所属的类型，需要再设置一个参数 提取出具体的类别。这里我们举一个例子就知道是怎么回事了。

随机生成三组密度不均的数据，我们使用DBSCAN和OPTICS来看一下效果。

可见，OPTICS第一步生成的输出序列较好的保留了各个不同密度的簇的特征，根据输出序列的可达距离图，再设定一个合理的 ，便可以获得较好的聚类效果。

2.3 层次化聚类方法

前面介绍的几种算法确实可以在较小的复杂度内获取较好的结果，但是这几种算法却存在一个链式效应的现象，比如：A与B相似，B与C相似，那么在聚类的时候便会将A、B、C聚合到一起，但是如果A与C不相似，就会造成聚类误差，严重的时候这个误差可以一直传递下去。为了降低链式效应，这时候层次聚类就该发挥作用了。

层次聚类算法 (hierarchical clustering) 将数据集划分为一层一层的 clusters，后面一层生成的 clusters 基于前面一层的结果。层次聚类算法一般分为两类：

• Agglomerative 层次聚类：又称自底向上（bottom-up）的层次聚类，每一个对象最开始都是一个 cluster，每次按一定的准则将最相近的两个 cluster 合并生成一个新的 cluster，如此往复，直至最终所有的对象都属于一个 cluster。这里主要关注此类算法。
• Divisive 层次聚类：又称自顶向下（top-down）的层次聚类，最开始所有的对象均属于一个 cluster，每次按一定的准则将某个 cluster 划分为多个 cluster，如此往复，直至每个对象均是一个 cluster。

另外，需指出的是，层次聚类算法是一种贪心算法（greedy algorithm），因其每一次合并或划分都是基于某种局部最优的选择。

2.3.1 Agglomerative算法

给定数据集  ，Agglomerative层次聚类最简单的实现方法分为以下几步：

1. 初始时每个样本为一个 cluster，计算距离矩阵  ，其中元素 为样本点 和   之间的距离；
2. 遍历距离矩阵  ，找出其中的最小距离（对角线上的除外），并由此得到拥有最小距离的两个 cluster 的编号，将这两个 cluster 合并为一个新的 cluster 并依据 cluster距离度量方法更新距离矩阵 （删除这两个 cluster 对应的行和列，并把由新 cluster 所算出来的距离向量插入  中），存储本次合并的相关信息；
3. 重复 2 的过程，直至最终只剩下一个 cluster 。

Agglomerative算法源代码，可以看到，该 算法的时间复杂度为   （由于每次合并两个 cluster 时都要遍历大小为  的距离矩阵来搜索最小距离，而这样的操作需要进行   次），空间复杂度为  （由于要存储距离矩阵）。

上图中分别使用了层次聚类中4个不同的cluster度量方法，可以看到，使用single-link确实会造成一定的链式效应，而使用complete-link则完全不会产生这种现象，使用average-link和ward-link则介于两者之间。

2.4 聚类方法比较

三、小区融合项目应用

3.1 小区融合的目的

贝壳找房的楼盘字典目前已成为全国最大的真实房源数据库，该数据库不仅存储了房源的信息，也存储了大量的小区数据，小区融合的目的是通过设置融合策略，将楼盘字典的多份小区数据进行整合，最终形成一个不包含重复小区的数据库。

3.2 聚类方法选择与效果

小区融合项目中，比较两个小区的相似度一般可以通过以下三种途径：

• 比较两个小区的小区名
• 比较两个小区的经纬度
• 比较两个小区的地址

在实际融合中，结合三种途径，设定合理的融合策略，将楼盘字典中的非主小区数据表挂靠到楼盘字典的主小区表中，不能够挂靠到主小区表的数据，使用聚类算法对这些小区进行融合，获取非主小区表中的独有小区。为什么在这里使用聚类呢？因为可以减少不必要的比较次数，在spark程序中，是以城市中的一个城区作为最小的处理单元，该单元中的小区都需要一一比较的话耗时太长，并且容易产生**"链式效应"**。那么聚类算法应该选择什么呢？

根据前面各种聚类算法的比较，我们选择的是DBSCAN和层次聚类算法。具体的融合策略如下图所示。

以北京市朝阳区的小区为例，融合之前所有小区的数据量9400，经过融合之后非主小区的独有数据量1345，设置DBSCAN融合阈值eps=500,min_pts=5，得到的融合结果如下图所示

四、参考文献

[1] 李航.统计学习方法

[2] Peter Harrington.Machine Learning in Action/李锐.机器学习实战

[3] https://www.zhihu.com/question/34554321

[4] T. Soni Madhulatha.AN OVERVIEW ON CLUSTERING METHODS

[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/32375430

[6] http://heathcliff.me/聚类分析（一）：层次聚类算法

[7] https://www.cnblogs.com/tiaozistudy/p/dbscan_algorithm.html

[8] https://blog.csdn.net/itplus/article/details/10089323

[9] Mihael Ankerst.OPTICS: ordering points to identify the clustering structure

作者介绍

胡著，2019年6月毕业于华中科技大学，现任贝壳找房知识图谱工程师，负责贝壳找房房产知识图谱的研发及落地应用。

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