We examine the effect of bounding the diameter for well-studied variants of the Colouring problem. A colouring is acyclic, star, or injective if any two colour classes induce a forest, star forest or disjoint union of vertices and edges, respectively. The corresponding decision problems are Acyclic Colouring, Star Colouring and Injective Colouring. The last problem is also known as $L(1,1)$-Labelling and we also consider the framework of $L(a,b)$-Labelling. We prove a number of (almost-)complete complexity classifications. In particular, we show that for graphs of diameter at most $d$, Acyclic $3$-Colouring is polynomial-time solvable if $d\leq 2$ but NP-complete if $d\geq 4$, and Star $3$-Colouring is polynomial-time solvable if $d\leq 3$ but NP-complete for $d\geq 8$. As far as we are aware, Star $3$-Colouring is the first problem that exhibits a complexity jump for some $d\geq 3$. Our third main result is that $L(1,2)$-Labelling is NP-complete for graphs of diameter $2$; we relate the latter problem to a special case of Hamiltonian Path.

翻译：我们检查了对受广泛研究的色彩问题变体的直径的界限。 彩色是一种循环、 恒星或预射的组合, 如果任何两个彩色等级分别导致森林、 恒星森林或脊椎和边缘的脱节结合。 相应的决定问题是环色彩色、 星色和定向彩色。 最后一个问题也称为 $(1, 1美元) 美元, 我们还认为 $( a, b) 美元- 环形。 我们证明了一些( 近乎) 完整的复杂分类。 特别是, 我们显示, 对于直径图, 最多是 $( $ da) 、 星色( 星) 3美元- 彩色框架框架, 如果 $( d\ g) 3 美元, 我们发现, 直径( 美元) 3 美元( 美元), 直径( 美元) 直径( 美元), 我们的直径( 3- 美元) 直径( 美元) 的直径( 美元) 直径( 美元) 直径( ) 直径( 美元) 直径( 美元) ) 直径( ) 直径( ) ) 直) 问题是 。 3- 右( 直( 美元) 直径( 美元) 美元) 直( ) ) 直径( 美元) 直( ) ) )