In this paper, we present approximate distance and shortest-path oracles for fault-tolerant Euclidean spanners motivated by the routing problem in real-world road networks. An $f$-fault-tolerant Euclidean $t$-spanner for a set $V$ of $n$ points in $\mathbb{R}^d$ is a graph $G=(V,E)$ where, for any two points $p$ and $q$ in $V$ and a set $F$ of $f$ vertices of $V$, the distance between $p$ and $q$ in $G-F$ is at most $t$ times their Euclidean distance. Given an $f$-fault-tolerant Euclidean $t$-spanner $G$ with $O(n)$ edges and a constant $\varepsilon$, our data structure has size $O_{t,f}(n\log n)$, and this allows us to compute an $(1+\varepsilon)$-approximate distance in $G-F$ between $s$ and $s'$ can be computed in constant time for any two vertices $s$ and $s'$ and a set $F$ of $f$ failed vertices. Also, with a data structure of size $O_{t,f}(n\log n\log\log n)$, we can compute an $(1+\varepsilon)$-approximate shortest path in $G-F$ between $s$ and $s'$ in $O_{t,f}(\log^2 n\log\log n+\textsf{sol})$ time for any two vertices $s$ and $s'$ and a set $F$ of failed vertices, where $\textsf{sol}$ denotes the number of vertices in the returned path.

翻译：本文提出面向容错欧几里得生成器的近似距离与最短路径直达器，其研究动机源于实际道路网络中的路由问题。对于 $\mathbb{R}^d$ 中由 $n$ 个点构成的集合 $V$，一个 $f$ 容错欧几里得 $t$ 生成器定义为图 $G=(V,E)$，满足对任意两点 $p,q \in V$ 及任意含 $f$ 个失效顶点集 $F \subseteq V$，在 $G-F$ 中 $p$ 与 $q$ 的距离不超过其欧几里得距离的 $t$ 倍。给定具有 $O(n)$ 条边的 $f$ 容错欧几里得 $t$ 生成器 $G$ 与常数 $\varepsilon$，本文构建的数据结构空间复杂度为 $O_{t,f}(n\log n)$，可在常数时间内为任意顶点对 $s,s'$ 及含 $f$ 个失效顶点集 $F$ 计算 $G-F$ 中 $s$ 与 $s'$ 的 $(1+\varepsilon)$ 近似距离。此外，通过空间复杂度 $O_{t,f}(n\log n\log\log n)$ 的数据结构，可在 $O_{t,f}(\log^2 n\log\log n+\textsf{sol})$ 时间内为任意顶点对 $s,s'$ 及失效顶点集 $F$ 计算 $G-F$ 中 $s$ 与 $s'$ 的 $(1+\varepsilon)$ 近似最短路径，其中 $\textsf{sol}$ 表示返回路径的顶点数。