The Hilbert metric is a distance function defined for points lying within a convex body. It generalizes the Cayley-Klein model of hyperbolic geometry to any convex set, and it has numerous applications in the analysis and processing of convex bodies. In this paper, we study the geometric and combinatorial properties of the Voronoi diagram of a set of point sites under the Hilbert metric. Given any convex polygon $K$ bounded by $m$ sides, we present two algorithms (one randomized and one deterministic) for computing the Voronoi diagram of an $n$-element point set in the Hilbert metric induced by $K$. Our randomized algorithm runs in $O(m n + n (\log n)(\log m n))$ expected time, and our deterministic algorithm runs in time $O(m n \log n)$. Both algorithms use $O(m n)$ space. We show that the worst-case combinatorial complexity of the Voronoi diagram is $\Theta(m n)$.

翻译：Hilbert 度量是位于 convex 体内的点定义的距离函数。 它将 Cayley- Klein 超偏几何模型概括到任何 convex 组, 它在分析和处理 convex 体中有许多应用。 在本文中, 我们研究了Voronoi 图表的几何和组合特性, 根据 Hilbert 度数一组点的一组点点点。 鉴于任何 convex 多边方美元受美元方的束缚, 我们为计算Hilbert 指标中由 $ 所设定的 $ 的 Voronoinoi 元素图提供了两种算法( 一种随机和一种确定法 ) 。 我们随机算法以 $( m n n ( n) (\ log n) ) 的预期时间运行, 我们的确定性算法在时间运行 $O( n n n) 。 。 两个算法都使用 $O ( m) 空间。 我们显示Vorronoioio 图表中最差的组合复杂性是 $\ n 。