Approximate near-neighbors search (\textsc{ANNS}) is a long-studied problem in computational geometry. %that has received considerable attention by researchers in the community. In this paper, we revisit the problem and propose the first data structure for curves under the (continuous) Fr\'echet distance in $\Reals^d$. Given a set $\P$ of $n$ curves of size at most $m$ each in $\Reals^d$, and a real fixed $\delta>0$, we aim to preprocess $\P$ into a data structure so that for any given query curve $Q$ of size $k$, we can efficiently report all curves in $\P$ whose Fr\'echet distances to $Q$ are at most $\delta$. In the case that $k$ is given in the preprocessing stage, for any $\eps>0$ we propose a deterministic data structure whose space is $n \cdot O\big(\max\big\{\big(\frac{\sqrt{d}}{\eps}\big)^{kd}, \big(\frac{\D\sqrt{d}}{\eps^2}\big)^{kd}\big\}\big)$ that can answer \textsc{$(1+\eps)\delta$-ANNS} queries in $O(kd)$ query time, where $\D$ is the diameter of $\P$. Considering $k$ as part of the query slightly changes the space to $n \cdot O\big(\frac{1}{\eps}\big)^{md} $ with $O(kd)$ query time within an approximation factor of $5+\eps$. We show that our generic data structure for ANNS can give an alternative treatment of the approximate subtrajectory range searching problem studied by de Berg et al. [8]. We also revisit the time-window data structure for spatial density maps in [6]. Given $\theta>0$, and $n$ time-stamped points spread over $m$ regions in a map, for any query window $W$, we propose a data structure of size $O(n/\eps^2)$ and construction time $O((n+m)/\eps^2)$ that can approximately return the regions containing at least $\theta$ points whose times are within $W$ in $O(1)$ query time.

翻译：近邻搜索 (\ textsc{ ANNS}) 是一个长期研究的计算基量问题。 %% 得到了社区研究人员的极大关注。 在本文中, 我们重新审视了问题, 并提出了在( 持续) Fr\\ echet 距离 $\ reals=d$ 下曲线的第一个数据结构。 如果在预处理阶段给出美元, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计。 我们的目标是在数据结构中预处理 $, 以美元计, 以美元计。 以美元计, 以美元计, 以美元计, 美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以我们提议一个确定性数据结构, 以美元计, 以美元计, 以美元计, 以美元 美元 美元计, 美元 。 美元, 美元 以 美元 美元, 以 美元计, 美元, 美元, 以 美元, 以 美元, 以 以 美元, 美元, 以 美元, 美元, 以 美元, 美元, 以 以 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 以 以 美元, 美元, 以 以 美元, 美元, 以 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 以 以 以 以 以 以 以 美元, 美元, 美元, 美元,,,,, 以,,, 以 以,,,, 以 以 以,,,,, 以 以 以 以,,, 以 以 美元, 美元, 美元, 以 美元, 以 以 以 以 以 以 以 以 美元, 美元, 美元, 美元, 以 以 以