In this paper, we propose two algorithms for a hybrid construction of all $n\times n$ MDS and involutory MDS matrices over a finite field $\mathbb{F}_{p^m}$, respectively. The proposed algorithms effectively narrow down the search space to identify $(n-1) \times (n-1)$ MDS matrices, facilitating the generation of all $n \times n$ MDS and involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{p^m}$. To the best of our knowledge, existing literature lacks methods for generating all $n\times n$ MDS and involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{p^m}$. In our approach, we introduce a representative matrix form for generating all $n\times n$ MDS and involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{p^m}$. The determination of these representative MDS matrices involves searching through all $(n-1)\times (n-1)$ MDS matrices over $\mathbb{F}_{p^m}$. Our contributions extend to proving that the count of all $3\times 3$ MDS matrices over $\mathbb{F}_{2^m}$ is precisely $(2^m-1)^5(2^m-2)(2^m-3)(2^{2m}-9\cdot 2^m+21)$. Furthermore, we explicitly provide the count of all $4\times 4$ MDS and involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{2^m}$ for $m=2, 3, 4$.

翻译：本文提出了两种算法，分别用于混合构造有限域 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有 $n\times n$ MDS矩阵和对合MDS矩阵。所提算法有效缩小了搜索空间以识别 $(n-1) \times (n-1)$ MDS矩阵，从而促进生成 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有 $n\times n$ MDS矩阵及对合MDS矩阵。据我们所知，现有文献缺乏生成 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有 $n\times n$ MDS矩阵和对合MDS矩阵的方法。在我们的方法中，我们引入了一种代表性矩阵形式，用于生成 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有 $n\times n$ MDS矩阵和对合MDS矩阵。这些代表性MDS矩阵的确定需遍历 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有 $(n-1)\times (n-1)$ MDS矩阵。我们的贡献还在于证明了 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上所有 $3\times 3$ MDS矩阵的数量精确为 $(2^m-1)^5(2^m-2)(2^m-3)(2^{2m}-9\cdot 2^m+21)$。此外，我们明确给出了 $m=2, 3, 4$ 时 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上所有 $4\times 4$ MDS矩阵和对合MDS矩阵的数量。