We provide the first coreset for clustering points in $\mathbb{R}^d$ that have multiple missing values (coordinates). Previous coreset constructions only allow one missing coordinate. The challenge in this setting is that objective functions, like $k$-Means, are evaluated only on the set of available (non-missing) coordinates, which varies across points. Recall that an $\epsilon$-coreset of a large dataset is a small proxy, usually a reweighted subset of points, that $(1+\epsilon)$-approximates the clustering objective for every possible center set. Our coresets for $k$-Means and $k$-Median clustering have size $(jk)^{O(\min(j,k))} (\epsilon^{-1} d \log n)^2$, where $n$ is the number of data points, $d$ is the dimension and $j$ is the maximum number of missing coordinates for each data point. We further design an algorithm to construct these coresets in near-linear time, and consequently improve a recent quadratic-time PTAS for $k$-Means with missing values [Eiben et al., SODA 2021] to near-linear time. We validate our coreset construction, which is based on importance sampling and is easy to implement, on various real data sets. Our coreset exhibits a flexible tradeoff between coreset size and accuracy, and generally outperforms the uniform-sampling baseline. Furthermore, it significantly speeds up a Lloyd's-style heuristic for $k$-Means with missing values.

翻译：我们为多个缺失值( 坐标) 的分组点提供第一个核心设置 $mathbb{R ⁇ d$ 。 以前的核心设置只允许一个缺失的坐标 。 在此设置的挑战是, 目标函数, 如$k$- Means, 仅在可用( 不丢失) 坐标组( 不同点) 上进行评估 。 回顾一个大数据集的 $\ epsilon$- 核心数据集是一个小代用单位, 通常是一个重标子子子组, 即$( 1 ⁇ epsilon) 接近每个可能的中心集组的分组目标 。 我们进一步设计一个算法, 在接近直线时间( $- Means) 和 $konk- Median 群集中, 大小为$( jk) O( min( j, j, k)) ) (\\\\\\ log_ 1) ) 核心值( ) ) 。 美元是数据点数, 的维度和 美元是每个数据中点的最大缩缩 。 我们进一步设计一个在接近直线时间( 美元 时间( 美元) ) 和 直线( 直径) 基) 基值( ) 度( ) 基) 基值( ) 基) 度( ) 度( ) ) 基) 度( ) 度( ) 基) 基) 基) 度( 基) 基) 度( 基) 基) 度( 度( 度( ) 度( ) ) ) 度( ) 基值( ) ) ) 基值( ) ) ) 基值( ) ) ) ) ) ) 值( ) ) ) 值( 值( ) ) ) 和基值(S- 基值( 基值( 基值( ) ) ) ) ) ) ) ) 度(S- ) ) 基值( ) ) ) 和基值( ) ) 基值( 和基值) 基)