We study two conjectures posed in the analysis of Boolean functions $f : \{-1, 1\}^n \to \{-1, 1\}$, in both of which, the Majority function plays a central role: the "Majority is Least Stable" (Benjamini et al., 1999) and the "Non-Interactive Correlation Distillation for Erasures" (Yang, 2004; O'Donnell and Wright, 2012). While both conjectures have been refuted in their originally stated form, we obtain a nearly tight characterization of the noise parameter regime in which each of the conjectures hold, for all $n \ge 5$. Whereas, for $n=3$, both conjectures hold in all noise parameter regimes. We state refined versions of both conjectures that we believe captures the spirit of the original conjectures.

翻译：我们研究了布尔函数分析领域中的两个猜想，其中多数函数在两个猜想中均起核心作用：“多数函数最不鲁棒性”猜想（Benjamini 等人，1999年）和“擦除信道下的非交互式相关性蒸馏”猜想（Yang，2004年；O'Donnell 和 Wright，2012年）。尽管这两个猜想在其原始表述形式下已被推翻，但我们对于所有 $n \ge 5$ 的情形，给出了每个猜想成立的噪声参数范围的近乎紧致刻画。然而，当 $n=3$ 时，这两个猜想在所有噪声参数范围内均成立。我们给出了这两个猜想的精炼版本，并相信其捕捉到了原始猜想的精髓。