Let $\mathbb{K}$ be a field of characteristic zero and $\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]$ the corresponding multivariate polynomial ring. Given a sequence of $s$ polynomials $\mathbf{f} = (f_1, \dots, f_s)$ and a polynomial $\phi$, all in $\mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]$ with $s<n$, we consider the problem of computing the set $W(\phi, \mathbf{f})$ of points at which $\mathbf{f}$ vanishes and the Jacobian matrix of $\mathbf{f}, \phi$ with respect to $x_1, \dots, x_n$ does not have full rank. This problem plays an essential role in many application areas. In this paper we focus on a case where the polynomials are all invariant under the action of the signed symmetric group $B_n$. We introduce a notion called {\em hyperoctahedral representation} to describe $B_n$-invariant sets. We study the invariance properties of the input polynomials to split $W(\phi, \mathbf{f})$ according to the orbits of $B_n$ and then design an algorithm whose output is a {hyperoctahedral representation} of $W(\phi, \mathbf{f})$. The runtime of our algorithm is polynomial in the total number of points described by the output.

翻译：Lets\ mathbb{K} $是一个特性为零的字段, 和 $\ mathbb{K} [x_ 1,\ dots, x_n] 美元, 相应的多变多元环的美元。 在一个序列中, 美元是 $\ 1,\ dots, f_s) 美元, 美元是 美元, 美元是 美元 [x_ 1,\ dorts, x_n] 美元, 美元是 美元, 美元是 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元。