In this paper, we study the \textsf{Planar Disjoint Paths} problem: Given an undirected planar graph $G$ with $n$ vertices and a set $T$ of $k$ pairs $(s_i,t_i)_{i=1}^k$ of vertices, the goal is to find a set $\mathcal P$ of $k$ pairwise vertex-disjoint paths connecting $s_i$ and $t_i$ for all indices $i\in\{1,\ldots,k\}$. We present a $2^{O(k^2)}n$-time algorithm for the \textsf{Planar Disjoint Paths} problem. This improves the two previously best-known algorithms: $2^{2^{O(k)}}n$-time algorithm [Discrete Applied Mathematics 1995] and $2^{O(k^2)}n^6$-time algorithm [STOC 2020].

翻译：在本文中,我们研究了 planar Disjoint paths} 问题: 鉴于一个无方向的平面图$G$, 上面有美元, 上面有一套$K$, 上面有美元, 上面有一套$K$, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有2美元, 上面有1美元, 上面有1美元, 上面有2美元, 上面有2美元, 上面有2美元, 上面有两种最著名的算法: 2美元, O美元, 上面有1美元 美元, 上面有1美元 美元, 上面有2美元, 上面有2美元 美元, 上面有2美元, 上面有2美元, 上面有2美元, 上面有2美元, 上面有2美元 。