Consider a channel $W$ along with a given input distribution $P_X$. In certain settings, such as in the construction of polar codes, the output alphabet of $W$ is `too large', and hence we replace $W$ by a channel $Q$ having a smaller output alphabet. We say that $Q$ is upgraded with respect to $W$ if $W$ is obtained from $Q$ by processing its output. In this case, the mutual information $I(P_X,W)$ between the input and output of $W$ is upper-bounded by the mutual information $I(P_X,Q)$ between the input and output of $Q$. In this paper, we present an algorithm that produces an upgraded channel $Q$ from $W$, as a function of $P_X$ and the required output alphabet size of $Q$, denoted $L$. We show that the difference in mutual informations is `small'. Namely, it is $O(L^{-2/(|\mathcal{X}|-1)})$, where $|\mathcal{X}|$ is the size of the input alphabet. This power law of $L$ is optimal. We complement our analysis with numerical experiments which show that the developed algorithm improves upon the existing state-of-the-art algorithms also in non-asymptotic setups.

翻译：考虑一个“ W” 频道, 加上一个给定的输入分配 $P_X, 美元。 在某些环境里, 例如在建造极地代码时, W美元的产出字母“ 太大 ”, 因此我们用一个输出字母较小 的 Q 美元 频道替换W$ 美元 。 我们说, 如果通过处理输出, 从 美元获得 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 。