An acyclic r-coloring of a directed graph G=(V,E) is a partition of the vertex set V into r acyclic sets. The dichromatic number of a directed graph G is the smallest r such that G allows an acyclic r-coloring. For symmetric digraphs the dichromatic number equals the well-known chromatic number of the underlying undirected graph. This allows us to carry over the W[1]-hardness and lower bounds for running times of the chromatic number problem parameterized by clique-width to the dichromatic number problem parameterized by directed clique-width. We introduce the first polynomial-time algorithm for the acyclic coloring problem on digraphs of constant directed clique-width. From a parameterized point of view our algorithm shows that the Dichromatic Number problem is in XP when parameterized by directed clique-width and extends the only known structural parameterization by directed modular width for this problem. Furthermore, we apply defineability within monadic second order logic in order to show that Dichromatic Number problem is in FPT when parameterized by the directed clique-width and r. For directed co-graphs, which is a class of digraphs of directed clique-width 2, and several generalizations we even show linear time solutions for computing the dichromatic number. Furthermore, we conclude that directed co-graphs and the considered generalizations lead to subclasses of perfect digraphs. For directed cactus forests, which is a set of digraphs of directed tree-width 1, we conclude an upper bound of 2 for the dichromatic number and we show that an optimal acyclic coloring can be computed in linear time.

翻译：定向图形 G= (V, E) 的周期性 红外线 G= (V, E) 的 ancycric 的 线性 彩色 颜色 是 垂直图 G 2 的 顶点 值 的 分层 。 定向图形 G G G 的 色数 是最小的, G 允许 周期 r 彩色 彩色 的 量值 。 对称性 色数的对称 度 等于 基础非方向图形的已知色数 。 这让我们可以将 色分点 运行时间的 W[1] 硬度和下限 的 色点 参数, 通过 clocwith 的 色宽度 到 色分层 的 色分层 问题 。 此外, 我们为直线性 直线性 直线性 直线性 直线性 值 直线性 直线性 直径直线性 直线性 直径 直径直径直径 直径 直径直径直到 直径 直径 直径 直径 直径 直 直 直地 直地 直 直径 直地 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直地 直 直 直 直 直 直 直 直地 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直地 直地 直向 直向 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直