In this article, We introduce a condition that is both necessary and sufficient for a linear code to achieve minimality when analyzed over the rings $\mathbb{Z}_{n}$.The fundamental inquiry in minimal linear codes is the existence of a $[m,k]$ minimal linear code where $k$ is less than or equal to $m$. W. Lu et al. ( see \cite{nine}) showed that there exists a positive integer $m(k;q)$ such that for $m\geq m(k;q)$ a minimal linear code of length $m$ and dimension $k$ over a finite field $\mathbb{F}_q$ must exist. They give the upper and lower bound of $m(k;q)$. In this manuscript, we establish both an upper and lower bound for $m(k;p^l)$ and $m(k;p_1p_2)$ within the ring $\mathbb{Z}_{p^l}$ and $\mathbb{Z}_{p_1p_2}$ respectively.

翻译：本文提出了一种在环 $\mathbb{Z}_{n}$ 上分析线性码达到极小性的充要条件。极小线性码的核心问题是：是否存在维度 $k$ 小于等于长度 $m$ 的 $[m,k]$ 极小线性码。W. Lu 等人（参见 \\cite{nine}）证明了存在一个正整数 $m(k;q)$，使得当 $m\\geq m(k;q)$ 时，在有限域 $\\mathbb{F}_q$ 上必然存在长度为 $m$、维度为 $k$ 的极小线性码，并给出了 $m(k;q)$ 的上界与下界。在本研究中，我们分别在环 $\\mathbb{Z}_{p^l}$ 和 $\\mathbb{Z}_{p_1p_2}$ 上，为 $m(k;p^l)$ 和 $m(k;p_1p_2)$ 建立了上界与下界。