We propose a deterministic Kaczmarz method for solving linear systems $A\x=\b$ with $A$ nonsingular. Instead of using orthogonal projections, we use reflections in the original Kaczmarz iterative method. This generates a series of points on an $n$-sphere $\S$ centered at the solution $\x_*=A^{-1}\b$. We show that these points are nicely distributed on $\S$. Taking the average of several points will lead to an effective approximation to the solution. We will show how to choose these points efficiently. The numerical tests show that in practice this deterministic scheme converges much faster than we expected and can beat the (block) randomized Kaczmarz methods.

翻译：我们建议一种确定性的卡兹马兹法, 用来用非正方美元解决线性系统 $A\x ⁇ b$, 用非正方美元解决线性系统 。 我们使用原始卡兹马兹迭接法的反射, 而不是使用正方预测。 这产生一系列以美元为单位的以美元为单位的折射点 $x ⁇ A ⁇ 1 ⁇ b$ 。 我们显示这些点以美元为单位的分布良好 。 以几个点的平均值可以有效接近解决方案 。 我们将展示如何有效地选择这些点 。 数字测试显示, 在实际操作中, 这个确定性方案比我们预期的要快得多, 并且可以击败( 区块) 随机的卡兹马兹方法 。