Optimal linear prediction (aka. kriging) of a random field $\{Z(x)\}_{x\in\mathcal{X}}$ indexed by a compact metric space $(\mathcal{X},d_{\mathcal{X}})$ can be obtained if the mean value function $m\colon\mathcal{X}\to\mathbb{R}$ and the covariance function $\varrho\colon\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to\mathbb{R}$ of $Z$ are known. We consider the problem of predicting the value of $Z(x^*)$ at some location $x^*\in\mathcal{X}$ based on observations at locations $\{x_j\}_{j=1}^n$ which accumulate at $x^*$ as $n\to\infty$ (or, more generally, predicting $\varphi(Z)$ based on $\{\varphi_j(Z)\}_{j=1}^n$ for linear functionals $\varphi,\varphi_1,\ldots,\varphi_n$). Our main result characterizes the asymptotic performance of linear predictors (as $n$ increases) based on an incorrect second order structure $(\tilde{m},\tilde{\varrho})$, without any restrictive assumptions on $\varrho,\tilde{\varrho}$ such as stationarity. We, for the first time, provide necessary and sufficient conditions on $(\tilde{m},\tilde{\varrho})$ for asymptotic optimality of the corresponding linear predictor holding uniformly with respect to $\varphi$. These general results are illustrated by weakly stationary random fields on $\mathcal{X}\subset\mathbb{R}^d$ with Mat\'ern or periodic covariance functions, and on the sphere $\mathcal{X}=\mathbb{S}^2$ for the case of two isotropic covariance functions.

翻译：随机字段 ${( x)\\ x\\\ mathal{ x} 美元 的 Optial 线性预测 (a. kriging), 随机字段 ${( x)\ x\\ mathcal{ x} {x\ x\ 美元) 的 Optial 线性预测 (a. krig) 美元 {x\\ mathcal{x\ pathcal{ x} = 美元。 我们考虑在某个位置 $(\ mathca{ x},d\ mathcal{x} 美元指数值预测 $Z( x) 的美元值 。 根据 $\ varphr\\ xr> 美元, 美元( 美元) 美元( 更一般地, 以美元预测 美元( wr\\ talth} =1美元), 以 美元( 美元) 美元( 以 美元) 美元( 美元) 美元) 以直线性计算 美元( 美元( 美元) 美元) 美元) 美元( 美元) 美元) 美元( 美元) 美元) 美元计算, 美元) 美元( 美元) 美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元) 美元) 美元(美元) 美元) 美元(美元) 美元) 美元) 美元) 美元(美元(美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元) 美元(美元) 美元(美元) 美元) 美元) 美元(美元(美元) 的计算(美元(美元) 美元)