The \emph{Product Structure Theorem} for planar graphs (Dujmovi\'c et al.\ \emph{JACM}, \textbf{67}(4):22) states that any planar graph is contained in the strong product of a planar $3$-tree, a path, and a $3$-cycle. We give a simple linear-time algorithm for finding this decomposition as well as several related decompositions. This improves on the previous $O(n\log n)$ time algorithm (Morin.\ \emph{Algorithmica}, \textbf{85}(5):1544--1558).

翻译：用于平面图( Dujmovi\'c et al.\ emph{JACM},\ textbf{67}(4):22) 的 \ emph{ product 结构理论} 表示, 任何平面图都包含在3$- tree、 路径和 3$- 周期的强产物中。 我们给出一个简单的线性时间算法来查找这种分解以及一些相关的分解。 这比以前的 $O( n) 美元时间算法( Morin.\ emph{ Algorithmica},\ textbf{85}(5): 1544-1558) 有所改进 。