We determine the weight spectra of the Reed-Muller codes $RM(m-3,m)$ for $m\ge 6$ and $RM(m-4,m)$ for $m\ge 8$. The technique used is induction on $m$, using that the sum of two weights in $RM(r-1,m-1)$ is a weight in $RM(r,m)$, and using the characterization by Kasami and Tokura of the weights in $RM(r,m)$ that lie between its minimum distance $2^{m-r}$ and the double of this minimum distance. We also derive the weights of $RM(3,8),\,RM(4,9),$ by the same technique. We conclude with a conjecture on the weights of $RM(m-c,m)$, where $c$ is fixed and $m$ is large enough.

翻译：我们确定了当 $m \geq 6$ 时 Reed-Muller 码 $RM(m-3,m)$ 和 $RM(m-4,m)$ 的权值谱。使用技巧是对 $m$ 进行归纳，利用在 $RM(r-1,m-1)$ 中两个权相加是 $RM(r,m)$ 中的一个权，以及使用 Kasami 和 Tokura 对 $RM(r,m)$ 中介于其最小距离 $2^{m-r}$ 和两倍最小距离之间的权值的刻画。我们还使用相同的技术导出了 $RM(3,8)$ 和 $RM(4,9)$ 的权值，最后得出了当 $c$ 固定时 $RM(m-c,m)$ 的权值谱随 $m$ 的变化的一个猜想。