We introduce a general method for obtaining fixed-parameter algorithms for problems about finding paths in undirected graphs, where the length of the path could be unbounded in the parameter. The first application of our method is as follows. We give a randomized algorithm, that given a colored $n$-vertex undirected graph, vertices $s$ and $t$, and an integer $k$, finds an $(s,t)$-path containing at least $k$ different colors in time $2^k n^{O(1)}$. This is the first FPT algorithm for this problem, and it generalizes the algorithm of Bj\"orklund, Husfeldt, and Taslaman [SODA 2012] on finding a path through $k$ specified vertices. It also implies the first $2^k n^{O(1)}$ time algorithm for finding an $(s,t)$-path of length at least $k$. Our method yields FPT algorithms for even more general problems. For example, we consider the problem where the input consists of an $n$-vertex undirected graph $G$, a matroid $M$ whose elements correspond to the vertices of $G$ and which is represented over a finite field of order $q$, a positive integer weight function on the vertices of $G$, two sets of vertices $S,T \subseteq V(G)$, and integers $p,k,w$, and the task is to find $p$ vertex-disjoint paths from $S$ to $T$ so that the union of the vertices of these paths contains an independent set of $M$ of cardinality $k$ and weight $w$, while minimizing the sum of the lengths of the paths. We give a $2^{p+O(k^2 \log (q+k))} n^{O(1)} w$ time randomized algorithm for this problem.

翻译：对于在非方向图形中找到路径的问题,我们引入了一种普通的算法来获取固定的参数算法, 在其中路径长度可以在参数中不受限制。 我们的第一个方法应用如下。 我们给出一个随机化算法, 给一个彩色的 $- verdex 未方向的图形、 verice 美元和 $t 美元, 整数美元, 找到一个$- 方( s, t) 的算法, 在时间里至少包含 $( k) 的不同颜色 $( k) 。 这是第一个针对该问题的 FPT 算法, 并且将 Bj\ " orlund, Husfeld, 和 Taslaman [SODO] 的算法进行如下: 彩色 $( sverk) 美元 的路径, 美元( t) 美元 的值( t) 的算法, 美元(t) 的算出时间长度至少是 $( 美元) 。 我们的方法使 FPT 的算法算出更多的问题。 例如, 我们想, rex- $( rick $) 美元 美元) 美元 的算 美元 美元, 美元 美元 美元 的算出一个正数(x 美元 美元) 美元) 的直数 美元, 美元, 美元 美元 美元 的计算 的值 美元 美元 美元 的计算 的值 。