We study the problem of maximizing a non-negative monotone $k$-submodular function $f$ under a knapsack constraint, where a $k$-submodular function is a natural generalization of a submodular function to $k$ dimensions. We present a deterministic $(\frac12-\frac{1}{2e})\approx 0.316$-approximation algorithm that evaluates $f$ $O(n^4k^3)$ times, based on the result of Sviridenko (2004) on submodular knapsack maximization.

翻译：我们研究了在背包约束下最大化非负单调 $k$-次模函数 $f$ 的问题，其中 $k$-次模函数是次模函数在 $k$ 维上的自然推广。基于 Sviridenko（2004）关于次模背包最大化的研究成果，我们提出了一种确定性 $(\frac12-\frac{1}{2e})\approx 0.316$-近似算法，该算法对 $f$ 的求值次数为 $O(n^4k^3)$。