Consider a graph $G$ which belongs to a graph class ${\cal C}$. We are interested in connecting a node $w \not\in V(G)$ to $G$ by a single edge $u w$ where $u \in V(G)$; we call such an edge a \emph{tail}. As the graph resulting from $G$ after the addition of the tail, denoted $G+uw$, need not belong to the class ${\cal C}$, we want to compute a minimum ${\cal C}$-completion of $G+w$, i.e., the minimum number of non-edges (excluding the tail $u w$) to be added to $G+uw$ so that the resulting graph belongs to ${\cal C}$. In this paper, we study this problem for the classes of split, quasi-threshold, threshold, and $P_4$-sparse graphs and we present linear-time algorithms by exploiting the structure of split graphs and the tree representation of quasi-threshold, threshold, and $P_4$-sparse graphs.

翻译：考虑一个G$G$的图,它属于一个图表级 $ $ $ c$ 。 我们想将一个节点 $w \ non\ in V(G) $ 美元与美元 美元 美元挂钩, 以美元 美元 美元 美元 ; 我们称之为 美元 美元 ; 我们称之为 美元 的 美元 。 由于在尾巴添加后由G美元 产生的图, 美元 表示 $+u 美元, 不需要 美元 美元 。 我们想计算一个最小 $ $ 美元 + 美元, 即非 美元 的 最低数量 (不包括 尾数 美元 ), 以加到 $ G+uw 美元 。 因此, 由此产生的图属于 $ 美元 C 。 在本文中, 我们研究 分裂、 准 门槛 、 门槛 和 $P_ 4 美元 价格 的 图表 类别 问题, 我们通过 利用 分裂图的结构 和 准 价格 的 。