Given a $k\times n$ integer primitive matrix $A$ (i.e., a matrix can be extended to an $n\times n$ unimodular matrix over the integers) with size of entries bounded by $\lambda$, we study the probability that the $m\times n$ matrix extended from $A$ by choosing other $m-k$ vectors uniformly at random from $\{0, 1, \ldots, \lambda-1\}$ is still primitive. We present a complete and rigorous proof that the probability is at least a constant for the case of $m\le n-4$. Previously, only the limit case for $\lambda\rightarrow\infty$ with $k=0$ was analysed in Maze et al. (2011), known as the natural density. As an application, we prove that there exists a fast Las Vegas algorithm that completes a $k\times n$ primitive matrix $A$ to an $n\times n$ unimodular matrix within expected $\tilde{O}(n^{\omega}\log \|A\|)$ bit operations, where $\tilde{O}$ is big-$O$ but without log factors, $\omega$ is the exponent on the arithmetic operations of matrix multiplication and $\|A\|$ is the maximal absolute value of entries of $A$.

翻译：$1,\ldots,\lambda-1 ⁇ $的原始基质 $A 美元 (即矩阵可以扩展至美元到美元到美元到美元到美元到4美元的情况中至少是一个常数。 之前,在Maze et al. (2011年)中,只分析了美元到美元到美元,称为自然密度的美元到美元,美元到美元到美元到美元到美元到美元, 拉斯维加斯的快速算法已经存在。 应用中,我们证明有一个快速的拉斯维加斯算法,它完成美元到美元到美元到美元到美元, 美元到美元到美元到美元, 美元到美元, 美元到美元, 美元到美元, 美元到美元, 美元到美元, 美元, 美元到美元, 美元到美元, 美元, 美元到 美元, 美元, 美元到 美元到 美元, 美元, 美元到 美元到 美元, 美元到 美元, 美元到 美元, 美元到 美元, 美元到 美元, 美元到 美元, 美元 美元到 美元到 美元到 美元到 美元到 美元, 美元到 美元到 美元, 美元到 美元到 的 的 的 美元, 美元到 美元, 的 的 美元到 美元到 美元, 美元到 的 美元, 的 的 美元, 美元到 美元到 的 的 的 的 的 美元, 的 的 的 的 的 的 美元, 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 的 。