Given a heterogeneous Gaussian sequence model with unknown mean $\theta \in \mathbb R^d$ and known covariance matrix $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1^2,\dots, \sigma_d^2)$, we study the signal detection problem against sparse alternatives, for known sparsity $s$. Namely, we characterize how large $\epsilon^*>0$ should be, in order to distinguish with high probability the null hypothesis $\theta=0$ from the alternative composed of $s$-sparse vectors in $\mathbb R^d$, separated from $0$ in $L^t$ norm ($t \geq 1$) by at least $\epsilon^*$. We find minimax upper and lower bounds over the minimax separation radius $\epsilon^*$ and prove that they are always matching. We also derive the corresponding minimax tests achieving these bounds. Our results reveal new phase transitions regarding the behavior of $\epsilon^*$ with respect to the level of sparsity, to the $L^t$ metric, and to the heteroscedasticity profile of $\Sigma$. In the case of the Euclidean (i.e. $L^2$) separation, we bridge the remaining gaps in the literature.

翻译：鉴于一个差异化的高斯序列模型,其平均值为不明,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以不同的方式对稀释的替代品研究信号探测问题,以已知的宽度为单位,以美元为单位。也就是说,为了非常有可能地区分由美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元,以美元,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元,以美元,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元,以美元,以美元,以美元,以美元,以美元,以美元,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元为单位,以美元,以美元,以美元,以美元,