We extend the notion of trend filtering to tensors by considering the $k^{\rm th}$-order Vitali variation, a discretized version of the integral of the absolute value of the $k^{\rm th}$-order total derivative. We prove adaptive $\ell^0$-rates and not-so-slow $\ell^1$-rates for tensor denoising with trend filtering. For $k=\{1,2,3,4\}$ we prove that the $d$-dimensional margin of a $d$-dimensional tensor can be estimated at the $\ell^0$-rate $n^{-1}$, up to logarithmic terms, if the underlying tensor is a product of $(k-1)^{\rm th}$-order polynomials on a constant number of hyperrectangles. For general $k$ we prove the $\ell^1$-rate of estimation $n^{- \frac{H(d)+2k-1}{2H(d)+2k-1}}$, up to logarithmic terms, where $H(d)$ is the $d^{\rm th}$ harmonic number. Thanks to an ANOVA-type of decomposition we can apply these results to the lower dimensional margins of the tensor to prove bounds for denoising the whole tensor. Our tools are interpolating tensors to bound the effective sparsity for $\ell^0$-rates, mesh grids for $\ell^1$-rates and, in the background, the projection arguments by Dalalyan et al.

翻译：我们将趋势过滤的概念扩大到抗拉,方法是考虑 $k ⁇ rmth $- 美元维他命变异,这是美元和美元绝对值的分解版本。 我们证明, 美元和美元对于抗拉是适应性的, 而不是那么低的 $ ell=1, 2, 3,4 美元。 对于 美元, 我们证明, 美元和美元维度的维度变异, 美元和维他命的维他命差差值可以估算为$/ell_0美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 维他命变异变, 直至对数值的对数, 根的 $- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 至 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 至 美元- 美元- 美元- 美元- 美元- 至 至 美元- 至