A dominating set of a graph $G$ is a set $S \subseteq V(G)$ such that every vertex in $V(G) \setminus S$ has a neighbor in $S$, where two vertices are neighbors if they are adjacent. A secure dominating set of $G$ is a dominating set $S$ of $G$ with the additional property that for every vertex $v \in V(G) \setminus S$, there exists a neighbor $u$ of $v$ in $S$ such that $(S \setminus \{u\}) \cup \{v\}$ is a dominating set of $G$. The secure domination number of $G$, denoted by $\gamma_s(G)$, is the minimum cardinality of a secure dominating set of $G$. We prove that if $G$ is a $P_5$-free graph, then $\gamma_s(G) \le \frac{3}{2}\alpha(G)$, where $\alpha(G)$ denotes the independence number of $G$. We further show that if $G$ is a connected $(P_5, H)$-free graph for some $H \in \{ P_3 \cup P_1, K_2 \cup 2K_1, ~\text{paw},~ C_4\}$, then $\gamma_s(G)\le \max\{3,\alpha(G)\}$. We also show that if $G$ is a $(P_3 \cup P_2)$-free graph, then $\gamma_s(G)\le \alpha(G)+1$.

翻译：图 $G$ 的一个支配集是指顶点集的一个子集 $S \subseteq V(G)$，满足 $V(G) \setminus S$ 中的每个顶点在 $S$ 中都有一个邻点，其中两个顶点相邻则称为邻点。图 $G$ 的一个安全支配集是 $G$ 的一个支配集 $S$，并具有以下附加性质：对于每个顶点 $v \in V(G) \setminus S$，都存在 $v$ 在 $S$ 中的一个邻点 $u$，使得 $(S \setminus \{u\}) \cup \{v\}$ 是 $G$ 的一个支配集。图 $G$ 的安全支配数，记作 $\gamma_s(G)$，是 $G$ 的所有安全支配集的最小基数。我们证明，若 $G$ 是一个 $P_5$-free 图，则 $\gamma_s(G) \le \frac{3}{2}\alpha(G)$，其中 $\alpha(G)$ 表示 $G$ 的独立数。我们进一步证明，若 $G$ 对于某个 $H \in \{ P_3 \cup P_1, K_2 \cup 2K_1, ~\text{paw},~ C_4\}$ 是一个连通的 $(P_5, H)$-free 图，则 $\gamma_s(G)\le \max\{3,\alpha(G)\}$。我们还证明，若 $G$ 是一个 $(P_3 \cup P_2)$-free 图，则 $\gamma_s(G)\le \alpha(G)+1$。