许多现实世界中的现象可以自然地用图与网络来建模。然而，经典的图模型通常局限于成对交互，难以充分刻画实际应用中涌现的更丰富结构。高阶图形式化方法通过引入多元、层次化、时序、多层、递归以及基于张量的交互，扩展了传统框架，从而为复杂系统提供更具表达力的表示。本书全面概述了可用于建模高阶网络的数学概念，梳理了基础概念、扩展框架以及新近提出的形式化方法，重点阐述其结构原理、相互关系及建模作用。旨在提供一个统一的视角，帮助读者比较多样化的高阶网络模型，并为理论研究和实际应用识别合适的工具。本书为2.0版，主要增加了若干新概念，同时修正了排印错误并改进了部分解释。 众所周知，许多现实世界现象可以使用图和网络进行建模[1, 2]。然而，诸多此类系统展现出的结构超出了成对交互的范畴：它们可能涉及多元关系、层次化组织、嵌套或递归依赖、时间演化或多层耦合。经典的图模型往往无法以数学上严格的方式忠实刻画这些特征。

为克服这一局限，研究者已发展出多种高阶形式化方法，包括超图[3]、超超图[4]、基于元图的模型[5]、基于单纯形与胞腔复形的框架、多层与时序网络，以及更近期的范畴论或语义方法。例如，超超图通过允许顶点域本身具有层次结构，从而将集值及迭代结构直接编码于对象域中，以此扩展高阶网络模型[4]。其结果是，高阶图理论已演变为一个广阔而多样化的领域，许多概念源自不同的数学视角和建模目标（参见[6, 7, 8, 9, 10, 11]）。 高阶网络（或高阶结构）的概念已在以下领域得到应用（当然，其应用范围不限于此）： * 交通与物流网络（参见[12, 13, 14, 15, 16]）：相比普通成对图，高阶图能更自然地表示多停靠点配送计划、枢纽协调、共享路线及群体流量约束。 * 社会网络分析（参见[17, 18, 19, 20, 21, 22]）：可建模群组对话、团队互动、重叠社群及层次化成员关系，超越简单的人与人之间的链接。 * 知识表示与语义网络（参见[23, 24]）：适用于编码知识系统中的多实体关系、带类型的事实、上下文关联及层次化语义结构。 * 分子与化学结构分析（参见[25, 26, 27]）：能够描述化学系统中的多原子相互作用、反应机理、分子复合物以及高阶结构依赖性。 * 神经科学与脑网络（参见[28, 29]）：支持对集体神经活动、多区域同步、分层脑连接以及时变功能组织的建模。 * 机器学习与图神经网络（参见[30, 31, 32, 10, 33]）：高阶图被应用于涉及群组、层次或嵌套结构的学习任务中，例如超图神经网络及相关模型。 * 推荐系统（参见[34, 35, 36]）：可同时捕获用户、物品、上下文、时间及属性交互，提供比普通二分图更丰富的关系表示。 * 供应链与组织系统（参见[37]）：对供应商、资源、部门及流程之间的多方依赖关系（包括层次化与跨层级协调结构）进行建模。 * 通信与信息网络（参见[38]）：适用于表示多播通信、分层协议、组传输以及动态变化的高阶连接模式。 * 决策与运筹学（参见[39, 40, 41, 42]）：能够表达复杂决策问题中相互作用的准则、成组备选方案、分层评价结构以及含不确定性的关系依赖。

本书贡献

现已发展出多种用于表示高阶网络的数学框架。然而，这些框架往往散布于不同的数学传统、术语体系和应用领域，使得系统比较变得困难。因此，我们认为编写一本综述性质的书籍，将这些概念汇集于统一连贯的参考文献中，是十分有价值的。 据此，本书提供了可用于建模高阶网络的数学概念的广泛且结构化的概述。其目的在于为这些形式化方法提供一个统一的切入点，阐明其基本思想，并突出它们的共同特征与本质差异。通过这种方式，本书旨在支持进一步的理论发展以及在人工智能及相关学科领域中的应用。 但需要指出，这里汇集的概念并非在单一统一意义上都是“高阶”的。有些框架通过增加交互的元数（arity）来推广图，例如超图类模型；另一些则引入层次、嵌套或递归，如超超图类构造；还有一些通过层、时间索引或多方面组织来编码高阶性，如多层网络与时序网络。最后，某些方法源自完全不同的数学语义，包括操作子（operadic）、幺半范畴、关系、基于张量、基于闭包以及余代数视角。 为了使这种多样性更易于理解和比较，本书按照概要表格中所采用的实际分类，将所述概念组织为四大类： 1. 组合的、集合论的与序论的结构； 1. 几何的、拓扑的与基于复形的结构； 1. 基于分解、约束、分层、时序与张量的结构； 1. 语义的、组合的、基于知识与逻辑的结构。