Consider a system of $m$ polynomial equations $\{p_i(x) = b_i\}_{i \leq m}$ of degree $D\geq 2$ in $n$-dimensional variable $x \in \mathbb{R}^n$ such that each coefficient of every $p_i$ and $b_i$s are chosen at random and independently from some continuous distribution. We study the basic question of determining the smallest $m$ -- the algorithmic threshold -- for which efficient algorithms can find refutations (i.e. certificates of unsatisfiability) for such systems. This setting generalizes problems such as refuting random SAT instances, low-rank matrix sensing and certifying pseudo-randomness of Goldreich's candidate generators and generalizations. We show that for every $d \in \mathbb{N}$, the $(n+m)^{O(d)}$-time canonical sum-of-squares (SoS) relaxation refutes such a system with high probability whenever $m \geq O(n) \cdot (\frac{n}{d})^{D-1}$. We prove a lower bound in the restricted low-degree polynomial model of computation which suggests that this trade-off between SoS degree and the number of equations is nearly tight for all $d$. We also confirm the predictions of this lower bound in a limited setting by showing a lower bound on the canonical degree-$4$ sum-of-squares relaxation for refuting random quadratic polynomials. Together, our results provide evidence for an algorithmic threshold for the problem at $m \gtrsim \widetilde{O}(n) \cdot n^{(1-\delta)(D-1)}$ for $2^{n^{\delta}}$-time algorithms for all $\delta$.

翻译：考虑一个以美元为单位的多元方程式 $%p_i(x) = b_i_i(x) = b_i_i\leqm}$D\geq 2美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元。 我们研究确定最小的美元, 算法阈值, 有效算法可以为这些系统找到refutation( e. 不满意的证书) 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 单位, 美元, 单位, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 单位为美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 单位为美元, 美元, 美元, 单位为美元, 单位为美元, 美元, 单位为美元, 单位, 单位,