Given a simple polygon $P$ with $n$ vertices, we consider the problem of constructing a data structure for visibility queries: for any query point $q \in P$, compute the visibility polygon of $q$ in $P$. To obtain $O(\log n + k)$ query time, where $k$ is the size of the visibility polygon of $q$, the previous best result requires $O(n^3)$ space. In this paper, we propose a new data structure that uses $O(n^{2+ε})$ space, for any $ε> 0$, while achieving the same query time. If only $O(n^2)$ space is available, the best known result provides $O(\log^2 n + k)$ query time. We improve this to $O(\log n \log \log n + k)$ time. When restricted to $o(n^2)$ space, the only previously known approach, aside from the $O(n)$-time algorithm that computes the visibility polygon without preprocessing, is an $O(n)$-space data structure that supports $O(k \log n)$-time queries. We construct a data structure using $O(n \log n)$ space that answers visibility queries in $O(n^{1/2+ε} + k)$ time. In addition, for the special case in which $q$ lies on the boundary of $P$, we build a data structure of $O(n \log n)$ space supporting $O(\log^2 n + k)$ query time; alternatively, we achieve $O(\log n + k)$ query time using $O(n^{1+ε})$ space. To achieve our results, we propose a new method for decomposing simple polygons, which may be of independent interest.

翻译：给定一个包含 $n$ 个顶点的简单多边形 $P$，我们研究构建支持可见性查询的数据结构问题：对于任意查询点 $q \in P$，计算 $q$ 在 $P$ 中的可见多边形。为了获得 $O(\log n + k)$ 的查询时间（其中 $k$ 是 $q$ 的可见多边形的大小），先前的最佳结果需要 $O(n^3)$ 的空间。在本文中，我们提出了一种新的数据结构，对于任意 $ε > 0$，使用 $O(n^{2+ε})$ 的空间，同时达到相同的查询时间。如果仅能使用 $O(n^2)$ 空间，目前已知的最佳结果提供 $O(\log^2 n + k)$ 的查询时间。我们将其改进为 $O(\log n \log \log n + k)$ 时间。当限于 $o(n^2)$ 空间时，除了无需预处理即可计算可见多边形的 $O(n)$ 时间算法外，唯一已知的方法是支持 $O(k \log n)$ 时间查询的 $O(n)$ 空间数据结构。我们构建了一个使用 $O(n \log n)$ 空间的数据结构，可在 $O(n^{1/2+ε} + k)$ 时间内回答可见性查询。此外，对于 $q$ 位于 $P$ 边界上的特殊情况，我们构建了一个 $O(n \log n)$ 空间的数据结构，支持 $O(\log^2 n + k)$ 的查询时间；或者，我们使用 $O(n^{1+ε})$ 空间实现了 $O(\log n + k)$ 的查询时间。为了实现我们的结果，我们提出了一种新的简单多边形分解方法，该方法可能具有独立的研究价值。