Let $T_{\epsilon}$, $0 \le \epsilon \le 1/2$, be the noise operator acting on functions on the boolean cube $\{0,1\}^n$. Let $f$ be a distribution on $\{0,1\}^n$ and let $q > 1$. We prove tight Mrs. Gerber-type results for the second Renyi entropy of $T_{\epsilon} f$ which take into account the value of the $q^{th}$ Renyi entropy of $f$. For a general function $f$ on $\{0,1\}^n$ we prove tight hypercontractive inequalities for the $\ell_2$ norm of $T_{\epsilon} f$ which take into account the ratio between $\ell_q$ and $\ell_1$ norms of $f$.

翻译：$0\le epsilon\ le 1/2 $, $0\le le epsilon\ le 1/2$, 做一个按布利安立方体功能操作的噪音操作员 $0,1 ⁇ n 美元。 $0, 1 ⁇ n 美元再分配, 美元再分配 1美元。 我们证明Gerber夫人的第二Renyi entropy $T ⁇ epsilon f 美元的结果很紧, 这考虑到Renyi entropy 美元的价值。 对于一个一般功能, 以 $0, 1 ⁇ n 美元计算, 我们证明对$2美元标准($T ⁇ epsilon) f美元存在严格的超大合同不平等, 美元标准是$_ ell_ 2美元标准, $@ epsilonf 美元考虑到美元与$1 美元标准($f) 之间的比率。