Let $\vec{w} = (w_1,\dots, w_n) \in \mathbb{R}^{n}$. We show that for any $n^{-2}\le\epsilon\le 1$, if \[\#\{\vec{\xi} \in \{0,1\}^{n}: \langle \vec{\xi}, \vec{w} \rangle = r\} \ge 2^{-\epsilon n}\cdot 2^{n}\] for some $r \in \mathbb{R}$, then \[\#\{\langle \vec{\xi}, \vec{w} \rangle : \vec{\xi} \in \{0,1\}^{n}\} \le 2^{O(\sqrt{\epsilon}n)}.\] This exponentially improves a recent result of Nederlof, Pawlewicz, Swennenhuis, and W\k{e}grzycki and leads to a similar improvement in the parameterized (by the number of bins) runtime of bin packing.

翻译：Let\ vec{w} = (w_ 1,\\\ dots, w_n) = ($_1,\\ dots, w_n) = 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 1美元= 美元= 美元= 1美元= 美元= 美元= 2\\\\\\\ le\\\\\\\\\\ e\\ 欧元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 1\ 美元= 美元= 美元= 美元= = = (w_ 1,\\\\ do, 美元) = 美元= 美元= 任何美元= 2\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\