Three polynomials are defined for given sets $S$ of $n$ points in general position in the plane: The Voronoi polynomial with coefficients the numbers of vertices of the order-$k$ Voronoi diagrams of~$S$, the circle polynomial with coefficients the numbers of circles through three points of $S$ enclosing $k$ points of $S$, and the $E_{\leq k}$ polynomial with coefficients the numbers of (at most $k$)-edges of~$S$. We present several formulas for the rectilinear crossing number of $S$ in terms of these polynomials and their roots. We also prove that the roots of the Voronoi polynomial lie on the unit circle if, and only if, $S$ is in convex position. Further, we present bounds on the location of the roots of these polynomials.

翻译：对于处于一般位置的平面点集 $S$（含 $n$ 个点），我们定义了三个多项式：Voronoi 多项式（其系数为 $S$ 的 $k$ 阶 Voronoi 图的顶点数）、圆多项式（其系数为通过 $S$ 中三个点且包含 $S$ 中 $k$ 个点的圆的数量），以及 $E_{\leq k}$ 多项式（其系数为 $S$ 中（至多 $k$ 条）边的数量）。我们给出了若干公式，利用这些多项式及其根来表示 $S$ 的直线交叉数。我们还证明了：Voronoi 多项式的根位于单位圆上当且仅当 $S$ 处于凸位置。此外，我们给出了这些多项式根的位置的界。