For a digraph $D=(V(D), A(D))$, and a set $S\subseteq V(D)$ with $r\in S$ and $|S|\geq 2$, a directed $(S, r)$-Steiner path or, simply, an $(S, r)$-path is a directed path $P$ started at $r$ with $S\subseteq V(P)$. Two $(S, r)$-paths are said to be arc-disjoint if they have no common arc. Two arc-disjoint $(S, r)$-paths are said to be internally disjoint if the set of common vertices of them is exactly $S$. Let $\kappa^p_{S,r}(D)$ (resp. $\lambda^p_{S,r}(D)$) be the maximum number of internally disjoint (resp. arc-disjoint) $(S, r)$-paths in $D$. In this paper, we study the complexity for $\kappa^p_{S,r}(D)$ and $\lambda^p_{S,r}(D)$. When both $k\geq 3, \ell\geq 2$ are fixed integers, we show that the problem of deciding whether $\kappa^p_{S,r}(D) \geq \ell$ for an Eulerian digraph $D$ is NP-complete, where $r\in S\subseteq V(D)$ and $|S|=k$. However, when we consider the class of symmetric digraphs, the problem becomes polynomial-time solvable. We also show that the problem of deciding whether $\lambda^p_{S,r}(D) \geq \ell$ for a given digraph $D$ is NP-complete, where $r\in S\subseteq V(D)$ and $|S|=k$.

翻译：对于( V( D), A( D) 美元) 和一套 $S\ subseteq V( D) 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 先生, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, S, 。, S, 。, 。,,,, 。, 。, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, S, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元, 美元,