Foucaud et al. [Discrete Appl. Math. 319 (2022), 424-438] recently introduced and initiated the study of a new graph-theoretic concept in the area of network monitoring. For a set $M$ of vertices and an edge $e$ of a graph $G$, let $P(M, e)$ be the set of pairs $(x, y)$ with a vertex $x$ of $M$ and a vertex $y$ of $V(G)$ such that $d_G(x, y)\neq d_{G-e}(x, y)$. For a vertex $x$, let $EM(x)$ be the set of edges $e$ such that there exists a vertex $v$ in $G$ with $(x, v) \in P(\{x\}, e)$. A set $M$ of vertices of a graph $G$ is distance-edge-monitoring set if every edge $e$ of $G$ is monitored by some vertex of $M$, that is, the set $P(M, e)$ is nonempty. The distance-edge-monitoring number of a graph $G$, denoted by $dem(G)$, is defined as the smallest size of distance-edge-monitoring sets of $G$. The vertices of $M$ represent distance probes in a network modeled by $G$; when the edge $e$ fails, the distance from $x$ to $y$ increases, and thus we are able to detect the failure. It turns out that not only we can detect it, but we can even correctly locate the failing edge. In this paper, we continue the study of \emph{distance-edge-monitoring sets}. In particular, we give upper and lower bounds of $P(M,e)$, $EM(x)$, $dem(G)$, respectively, and extremal graphs attaining the bounds are characterized. We also characterize the graphs with $dem(G)=3$.

翻译：Foucaud et al. [Discrete Appl. Math. 319 (2022), 424-438] 最近推出并开始研究网络监测领域的新的图形理论概念。 对于一个固定的脊椎美元和一边的美元, 美元为G美元, 美元( m, e) 美元( $) 是一对的组合美元( 美元, 美元( 美元, 美元) 美元( 美元) 和一面的美元( 美元), 美元( 美元), 美元( 美元), 美元( 美元), 美元( 美元), 美元( 美元) 美元( 美元), 美元( 美元) 美元( 美元), 美元( 美元( 美元) 美元( 美元), 美元( 美元) 美元( 美元) 。 美元( 美元( 美元) 美元( 美元), 美元( 美元) 美元( 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元), 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元) 美元( 我们) 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( ) ), 美元( 美元( 美元( 美元) 美元( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ) ( 美元( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元( ) ( 美元) ( ) ( ) ( ) ( 美元) ( ) ( ) ( 美元) ( ) ( ) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元