Let A(n, d) denote the maximum number of codewords in a binary code of length n and minimum Hamming distance d. Deriving upper and lower bounds on A(n, d) has been a subject for extensive research in coding theory. In this paper, we examine upper and lower bounds on A(n, d) in the high-minimum distance regime, in particular, when $d = n/2 - \Theta(\sqrt{n})$. We will first provide a lower bound based on a cyclic construction for codes of length $n= 2^m -1$ and show that $A(n, d) \geq n^c$ for $d= n/2 - 2^{c-1}\sqrt{n}$, where c is an integer with $1 \leq c \leq m/2 - 1$. With a Fourier-analytic view of Delsarte's linear program, novel upper bounds on $A(n, n/2 - \sqrt{n})$ and $A(n, n/2 - 2\sqrt{n})$ are obtained, both of which scale polynomially in $n$.

翻译：允许 A (n, d) 表示长度为 n 和最小 Hamming 距离的二进制代码中的最大编码字数。 在 A(n, d) 上下界为对编码理论进行广泛研究的主题。 在本文中, 我们检查高最小距离系统中的 A(n, d) 上下界为 A(n, d), 特别是当$d = n/2 -\ Theta( sqrt{n} 美元时。 我们首先根据长度为 $= 2 ⁇ m - 1美元的周期构造提供较低的下限值。 并显示 $(n, d)\ geq nc$= n/2 - 2 ⁇ c-1sqrt} $, 以 1 leq c= c\leq leqm/2 - 1 美元为整数。 以四倍分析方式查看 Delsart 线性程序, $A(n, n/2 - sqrt{ $) 和 美元(n) (n) 和 美元(n) n/2} (n) (n) 美元) 和 美元(n) 美元(n) (n) 美元) 和 美元(n) 美元(n) 美元) 和(n) 的升(n) 和 美元) 和 美元(n) 美元(n) 美元(n) 美元(n) 美元) 美元(n) 和(n) 美元(n) 美元) 美元) 的升) 和(n) 的升(n) 和(n) 和(n) 的升) 和(n) 美元(n) 美元(n) 和(n) 美元(n) 美元(n) 美元) 美元) 和(n) 美元) 美元) 和(n) 美元(n) 和(n) 和(n) 美元(n) 美元(n) 美元(美元) 的整整整值。