For an $n \times n$ matrix $M$ with entries in $\mathbb{Z}_2$ denote by $R(M)$ the minimal rank of all the matrices obtained by changing some numbers on the main diagonal of $M$. We prove that for each non-negative integer $k$ there is a polynomial in $n$ algorithm deciding whether $R(M) \leq k$ (whose complexity may depend on $k$). We also give a polynomial in $n$ algorithm computing a number $m$ such that $m/2 \leq R(M) \leq m$. These results have applications to graph drawings on non-orientable surfaces.

翻译：美元=missions n $missions n $M$,其条目为$\mathbb=2美元=2美元=以美元=2美元=所有矩阵的最小等级=R(M)$。我们证明,对于每个非负整数的非负整数美元为1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=2美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=mmmmmmmmmmmmmmmmm=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=2美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=2美元=2美元=2美元=2美元=1美元=1美元=1美元=2美元=2美元=1美元=2美元=2美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=1美元=