Let $\mathcal{G}$ be a minor-closed graph class. We say that a graph $G$ is a $k$-apex of $\mathcal{G}$ if $G$ contains a set $S$ of at most $k$ vertices such that $G\setminus S$ belongs to $\mathcal{G}.$ We denote by $\mathcal{A}_k (\mathcal{G})$ the set of all graphs that are $k$-apices of $\mathcal{G}.$ We prove that every graph in the obstruction set of $\mathcal{A}_k (\mathcal{G}),$ i.e., the minor-minimal set of graphs not belonging to $\mathcal{A}_k (\mathcal{G}),$ has size at most $2^{2^{2^{2^{\mathsf{poly}(k)}}}},$ where $\mathsf{poly}$ is a polynomial function whose degree depends on the size of the minor-obstructions of $\mathcal{G}.$ This bound drops to $2^{2^{\mathsf{poly}(k)}}$ when $\mathcal{G}$ excludes some apex graph as a minor.

翻译：设 $\mathcal{G}$ 为一个极小闭图类。若图 $G$ 包含一个大小至多为 $k$ 的顶点集合 $S$，使得 $G\setminus S$ 属于 $\mathcal{G}$，则称 $G$ 是 $\mathcal{G}$ 的一个 $k$-顶点覆盖。我们用 $\mathcal{A}_k (\mathcal{G})$ 表示所有是 $\mathcal{G}$ 的 $k$-顶点覆盖的图的集合。我们证明 $\mathcal{A}_k (\mathcal{G})$ 的障碍集（即不属于 $\mathcal{A}_k (\mathcal{G})$ 的极小图集合）中每个图的大小至多为 $2^{2^{2^{2^{\mathsf{poly}(k)}}}}$，其中 $\mathsf{poly}$ 是一个多项式函数，其次数取决于 $\mathcal{G}$ 的极小障碍图的大小。当 $\mathcal{G}$ 排除某个顶点覆盖图作为子式时，这一上界可降至 $2^{2^{\mathsf{poly}(k)}}$。