We introduce new shape-constrained classes of distribution functions on R, the bi-$s^*$-concave classes. In parallel to results of D\"umbgen, Kolesnyk, and Wilke (2017) for what they called the class of bi-log-concave distribution functions, we show that every $s$-concave density $f$ has a bi-$s^*$-concave distribution function $F$ for $s^*\leq s/(s+1)$. Confidence bands building on existing nonparametric bands, but accounting for the shape constraint of bi-$s^*$-concavity, are also considered. The new bands extend those developed by D\"umbgen et al. (2017) for the constraint of bi-log-concavity. We also make connections between bi-$s^*$-concavity and finiteness of the Cs\"org\H{o} - R\'ev\'esz constant of $F$ which plays an important role in the theory of quantile processes.

翻译：我们引入了R( 双- $- $- concave class lection s/ (s+1) $) 上受形状限制的新的分配功能类别。 在使用 D\ “ umbgen ” 、 Kolesnyk 和 Wilke (2017年) 的结果的同时, 我们发现, 美元- cocave 密度每1美元, 美元/ concave 分配功能为 $s@ leq s/ (s+1) 美元。 在现有非参数上建立信任带, 但也考虑到 bi- $ $- 美元- cocavity 的形状限制。 由 D\ “ umbgen et al. (2017年) 等人 (2017年) 开发的用于限制双- cocave 分配功能的新组合扩展了这些功能。 我们还在 Cs\\\ " org\\\ H{ {o} - R\ “ ev\\' est $ $( $) - $) 常数( $F) ) ) 中扮演重要角色的 。