We show that independent and uniformly distributed sampling points are as good as optimal sampling points for the approximation of functions from the Sobolev space $W_p^s(\Omega)$ on bounded convex domains $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ in the $L_q$-norm if $q<p$. More generally, we characterize the quality of arbitrary sampling points $P\subset \Omega$ via the $L_\gamma(\Omega)$-norm of the distance function $\rm{dist}(\cdot,P)$, where $\gamma=s(1/q-1/p)^{-1}$ if $q<p$ and $\gamma=\infty$ if $q\ge p$. This improves upon previous characterizations based on the covering radius of $P$.

翻译：我们证明，对于定义在有界凸区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 上 Sobolev 空间 $W_p^s(\Omega)$ 中的函数，在 $L_q$ 范数意义下进行逼近时，当 $q<p$ 时，独立同分布的均匀采样点与最优采样点具有相同的效果。更一般地，我们通过距离函数 $\rm{dist}(\cdot,P)$ 的 $L_\gamma(\Omega)$ 范数刻画了任意采样点集 $P\subset \Omega$ 的质量，其中当 $q<p$ 时 $\gamma=s(1/q-1/p)^{-1}$，而当 $q\ge p$ 时 $\gamma=\infty$。这改进了此前基于 $P$ 的覆盖半径的刻画方法。