A \emph{covering array} is an $N \times k$ array ($N$ rows, $k$ columns) with each entry from a $v$-ary alphabet, and for every $N\times t$ subarray, all $v^t$ tuples of size $t$ appear at least $\lambda$ times. The \emph{covering array number} is the smallest number $N$ for which such an array exists. For $\lambda = 1$, the covering array number is asymptotically logarithmic in $k$, when $v, t$ are fixed. Godbole, Skipper, and Sunley proved a bound of the form $\log k + \lambda \log \log k$ for the covering array number for arbitrary $\lambda$ and $v,t$ constant. The author proved a similar bound via a different technique, and conjectured that the $\log \log k$ term can be removed. In this short note we answer the conjecture in the affirmative with an asymptotically tight upper bound. In particular, we employ the probabilistic method in conjunction with the Lambert $W$ function.

翻译：\ emph{ 覆盖阵列} 是存在此阵列的最小数目 。 对于 $\ lambda = 1 美元, 包含的阵列数数以美元为单位, 当 $v, $t$ 固定时, 则以美元为单位对数。 对于每个条目, $v- 美元字母, $k$ 为单位, $t$ t$ 亚, 所有大小的 $t 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元 美元, 美元 美元 美元, 美元 美元 美元, 美元 美元, 美元 美元 美元, 美元, 美元 美元 美元 的 。 对于任意 $\ lambda 和 $ 美元 包含数组数, 美元 是最小数目 。 作者通过不同的技术证明了类似的约束, 并且预测 $\ $ 字数组数组数组数组数组数组数组可以以美元 以美元 的方式删除 。