We develop and assess an optimization-based approach to parametric geometry reduction. Given a family of parametric domains, we aim to determine a parametric diffeomorphism $\Phi$ that maps a fixed reference domain $\Omega$ into each element of the family, for different values of the parameter; the ultimate goal of our study is to determine an effective tool for parametric projection-based model order reduction of partial differential equations in parametric geometries. For practical problems in engineering, explicit parameterizations of the geometry are likely unavailable: for this reason, our approach takes as inputs a reference mesh of $\Omega$ and a point cloud $\{y_i^{\rm raw}\}_{i=1}^Q$ that belongs to the boundary of the target domain $V$ and returns a bijection $\Phi$ that approximately maps $\Omega$ in $V$. We propose a two-step procedure: given the point clouds $\{x_j\}_{j=1}^N\subset \partial \Omega$ and $\{y_i^{\rm raw}\}_{i=1}^Q \subset \partial V$, we first resort to a point-set registration algorithm to determine the displacements $\{ v_j \}_{j=1}^N$ such that the deformed point cloud $\{y_j:= x_j+v_j \}_{j=1}^N$ approximates $\partial V$; then, we solve a nonlinear non-convex optimization problem to build a mapping $\Phi$ that is bijective from $\Omega$ in $\mathbb{R}^d$ and (approximately) satisfies $\Phi(x_j) = y_j$ for $j=1,\ldots,N$.We present a rigorous mathematical analysis to justify our approach; we further present thorough numerical experiments to show the effectiveness of the proposed method.

翻译：我们开发并评估了一种基于优化的参数几何削减方法。 在有参数域的组合中, 我们的目标是确定一个用于将固定的参考域 $\ omega$ 和点云 $\\\ i\ rum rou\ i=1\ $ 美元, 以绘制参数参数值的不同值; 我们研究的最终目标是确定一个有效的工具, 以参数为基础的模型为基础, 减少参数几何的偏差方程。 对于工程方面的实际问题, 可能无法对几何法进行明确的参数化参数化: 为此, 我们的方法将一个 $\ x_ 美元 的参考网格 $\ $_ P=1\\\ subsetweg: 美元 美元和 美元 美元 美元 美元 和 美元 美元 美元 的网块 = 1\ 美元 美元, 美元 美元 美元= 美元 = 美元 美元= 美元 美元= 美元= 美元= 美元= 美元 美元= 美元 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 美元= 正在数分析。