A collection of hyperplanes $\mathcal{H}$ slices all edges of the $n$-dimensional hypercube $Q_n$ with vertex set $\{-1,1\}^n$ if, for every edge $e$ in the hypercube, there exists a hyperplane in $\mathcal{H}$ intersecting $e$ in its interior. Let $S(n)$ be the minimum number of hyperplanes needed to slice $Q_n$. We prove that $S(n) \leq \lceil \frac{4n}{5} \rceil$, except when $n$ is an odd multiple of $5$, in which case $S(n) \leq \frac{4n}{5} +1$. This improves upon the previously known upper bound of $S(n) \leq \lceil\frac{5n}{6} \rceil$ due to Paterson reported in 1971. We also obtain new lower bounds on the maximum number of edges in $Q_n$ that can be sliced using $k<n$ hyperplanes. We prove the improved upper bound on $S(n)$ by constructing $8$ hyperplanes slicing $Q_{10}$ aided by the recently introduced CPro1: an automatic tool that uses reasoning LLMs coupled with automated hyperparameter tuning to create search algorithms for the discovery of mathematical constructions.

翻译：若超平面集 $\mathcal{H}$ 与顶点集为 $\{-1,1\}^n$ 的 $n$ 维超立方体 $Q_n$ 的每条边均在其内部相交，则称 $\mathcal{H}$ 切分了 $Q_n$ 的所有边。令 $S(n)$ 表示切分 $Q_n$ 所需的最少超平面数量。我们证明，当 $n$ 不是 $5$ 的奇数倍时，$S(n) \leq \lceil \frac{4n}{5} \rceil$；当 $n$ 是 $5$ 的奇数倍时，$S(n) \leq \frac{4n}{5} +1$。这一结果改进了 Paterson 于 1971 年提出的已知上界 $S(n) \leq \lceil\frac{5n}{6} \rceil$。此外，我们还获得了关于使用 $k<n$ 个超平面所能切分的 $Q_n$ 最大边数的新下界。我们通过构造 $8$ 个切分 $Q_{10}$ 的超平面来证明 $S(n)$ 的改进上界，这一构造过程借助了近期提出的 CPro1 工具——该工具结合推理大语言模型与自动化超参数调优，可生成用于数学构造发现的搜索算法。