The $q$-fractional differential equation usually describe the physics process imposed on the time scale set $T_q$. In this paper, we first propose a difference formula for discretizing the fractional $q$-derivative $^cD_q^\alpha x(t)$ on the time scale set $T_q$ with order $0<\alpha<1$ and scale index $0<q<1$. We establish a rigours truncation error boundness and prove that this difference formula is unconditionally stable. Then, we consider the difference method for solving the initial problem of $q$-fractional differential equation: $^cD_q^\alpha x(t)=f(t,x(t))$ on the time scale set. We prove the unique existence and stability of the difference solution and give the convergence analysis. Numerical experiments show the effectiveness and high accuracy of the proposed difference method.

翻译：$q$- 折中差分方程式通常描述时间尺度设定的物理过程。 在本文中, 我们首先提出一个差异公式, 用于在时间尺度设定的时间尺度设定的分数 $- qd_ q ⁇ alpha x( t) 美元, 标为 0. alpha < 1 美元, 标为 0. alpha < 1 美元, 标为 0. q < 1 美元, 标为 0. q < 1 美元。 我们设定了严格截断错误的界限, 并证明这一差异公式是无条件稳定的。 然后, 我们考虑了在时间尺度设定的时间尺度设定的分数 $qD_ qä alpha x( t) = f (t, x (t) ) 的分数 。 我们证明了差异解决方案的独特存在和稳定性, 并给出了趋同分析。 数字实验显示了提议的差分法的有效性和高度精确性 。