We revisit the minimum dominating set problem on graphs with arboricity bounded by $\alpha$. In the (standard) centralized setting, Bansal and Umboh [BU17] gave an $O(\alpha)$-approximation LP rounding algorithm. Moreover, [BU17] showed that it is NP-hard to achieve an asymptotic improvement. On the other hand, the previous two non-LP-based algorithms, by Lenzen and Wattenhofer [LW10], and Jones et al. [JLR+13], achieve an approximation factor of $O(\alpha^2)$ in linear time. There is a similar situation in the distributed setting: While there are $\text{poly}\log n$-round LP-based $O(\alpha)$-approximation algorithms [KMW06, DKM19], the best non-LP-based algorithm by Lenzen and Wattenhofer [LW10] is an implementation of their centralized algorithm, providing an $O(\alpha^2)$-approximation within $O(\log n)$ rounds with high probability. We address the question of whether one can achieve a simple, elementary $O(\alpha)$-approximation algorithm not based on any LP-based methods, either in the centralized setting or in the distributed setting. We resolve these questions in the affirmative. More specifically, our contribution is two-fold: 1. In the centralized setting, we provide a surprisingly simple combinatorial algorithm that is asymptotically optimal in terms of both approximation factor and running time: an $O(\alpha)$-approximation in linear time. 2. Based on our centralized algorithm, we design a distributed combinatorial $O(\alpha)$-approximation algorithm in the $\mathsf{CONGEST}$ model that runs in $O(\alpha\log n )$ rounds with high probability. Our round complexity outperforms the best LP-based distributed algorithm for a wide range of parameters.

翻译：我们重新审视了以 $\ alpha$ 绑定的正方位数中最小的定值问题。 在( 标准) 中央化设置中, Bansal 和 Umboh [BU17] 给出了 $( ALpha) 的正方位LP 圆形计算法。 此外, [BU17] 显示, 实现无压式改进是很难的。 另一方面, 由 Lezen 和 Wattenhofer [LW10] 和 Jones 等人 [JLR+13] 以( 标准) 中央集位数 $( ALpha) 和 Umboh [BUB17] 在线性设置中达到一个近端值 美元( ALpha) 以 美元为基值的平方位数计算法。 由LMO 和Wattenhofer 以最佳非基于 LP 的算法( 以我们为基数的 AL- 美元 美元 以 美元 美元 平方位数 平方位数 。 以 平方位算法 以 以一美元 以 以 美元 以 平调定的平调算法 以 美元 以 以 以 以 美元 以 以 美元 美元 以 以 美元 美元 以 美元为 以 以 美元为 以 以 以 以 以 以 美元 以 以 以 以 美元 平法 以 以 以 以 以 平方 平方 平方 平方 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以 以