We study fundamental point-line covering problems in computational geometry, in which the input is a set $S$ of points in the plane. The first is the {\sc Rich Lines} problem, which asks for the set of all lines that each covers at least $\lambda$ points from $S$, for a given integer parameter $\lambda \geq 2$; this problem subsumes the {\sc 3-Points-on-Line} problem and the {\sc Exact Fitting} problem, which -- the latter -- asks for a line containing the maximum number of points. The second is the \NP-hard problem {\sc Line Cover}, which asks for a set of $k$ lines that cover the points of $S$, for a given parameter $k \in \mathbb{N}$. Both problems have been extensively studied. In particular, the {\sc Rich Lines} problem is a fundamental problem whose solution serves as a building block for several algorithms in computational geometry. For {\sc Rich Lines} and {\sc Exact Fitting}, we present a randomized Monte Carlo algorithm that achieves a lower running time than that of Guibas et al.'s algorithm [{\it Computational Geometry} 1996], for a wide range of the parameter $\lambda$. We derive lower-bound results showing that, for $\lambda =\Omega(\sqrt{n \log n})$, the upper bound on the running time of this randomized algorithm matches the lower bound that we derive on the time complexity of {\sc Rich Lines} in the algebraic computation trees model. For {\sc Line Cover}, we present two kernelization algorithms: a randomized Monte Carlo algorithm and a deterministic algorithm. Both algorithms improve the running time of existing kernelization algorithms for {\sc Line Cover}. We derive lower-bound results showing that the running time of the randomized algorithm we present comes close to the lower bound we derive on the time complexity of kernelization algorithms for {\sc Line Cover} in the algebraic computation trees model.

翻译：我们研究基本点直线, 包括计算算法的复杂度问题, 输入是设定的 $S 。 第一个是 Exact fitting} 问题, 它要求包含一个包含最高点数的直线。 第二个是 $S$ 的所有直线, 每个直线至少覆盖$\ lambda 点, 一个给定的整数参数 $\ lambda\ geq 2 美元; 这两个问题都得到了广泛的研究。 特别是, 3- Point- o- Line} 问题是一个根本问题, 后者要求一个包含最高点数的直线。 第二个是 \ Nrch Rix 问题, 它要求设置一个包含 $ 美元 lam 美元 的直线, 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直线 直径直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直径 直 直径 直径 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直径 直径 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直径 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直