Given a set of points $P$ and a set of regions $\mathcal{O}$, an incidence is a pair $(p,o ) \in P \times \mathcal{O}$ such that $p \in o$. We obtain a number of new results on a classical question in combinatorial geometry: What is the number of incidences (under certain restrictive conditions)? We prove a bound of $O\bigl( k n(\log n/\log\log n)^{d-1} \bigr)$ on the number of incidences between $n$ points and $n$ axis-parallel boxes in $\mathbb{R}^d$, if no $k$ boxes contain $k$ common points, that is, if the incidence graph between the points and the boxes does not contain $K_{k,k}$ as a subgraph. This new bound improves over previous work, by Basit, Chernikov, Starchenko, Tao, and Tran (2021), by more than a factor of $\log^d n$ for $d >2$. Furthermore, it matches a lower bound implied by the work of Chazelle (1990), for $k=2$, thus settling the question for points and boxes. We also study several other variants of the problem. For halfspaces, using shallow cuttings, we get a linear bound in two and three dimensions. We also present linear (or near linear) bounds for shapes with low union complexity, such as pseudodisks and fat triangles.

翻译：根据一组点数 $P 和一组区域 $mathcal {O} 美元, 一个事件是一对一对 美元( p, o) 美元( p) 美元( p) 美元( p) 美元( p) 美元( mathcal) 美元( O) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) 美元( 美元) ( 美元) 美元( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) 美元( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 折( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( ) ( ) ( 美元) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 美元) ( 美元) ( ) ( ) ( 美元) ( ) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( 美元) ( ) ( ) ( ) ( 美元) ( ) ( 美元) ( 美元) (