Let $P$ be a set of $n$ points in the plane. We consider a variation of the classical Erd\H{o}s-Szekeres problem, presenting efficient algorithms with $O(n^3)$ running time and $O(n^2)$ space complexity that compute: (1) A subset $S$ of $P$ such that the boundary of the rectilinear convex hull of $S$ has the maximum number of points from $P$, (2) a subset $S$ of $P$ such that the boundary of the rectilinear convex hull of $S$ has the maximum number of points from $P$ and its interior contains no element of $P$, (3) a subset $S$ of $P$ such that the rectilinear convex hull of $S$ has maximum area and its interior contains no element of $P$, and (4) when each point of $P$ is assigned a weight, positive or negative, a subset $S$ of $P$ that maximizes the total weight of the points in the rectilinear convex hull of $S$. We also revisit the problems of computing a maximum-area orthoconvex polygon and computing a maximum-area staircase polygon, amidst a point set in a rectangular domain. We obtain new and simpler algorithms to solve both problems with the same complexity as in the state of the art.

翻译：设 $P$ 为平面上包含 $n$ 个点的点集。我们考虑经典 Erdős-Szekeres 问题的一个变体，提出了运行时间为 $O(n^3)$、空间复杂度为 $O(n^2)$ 的高效算法，用于计算：(1) $P$ 的一个子集 $S$，使得 $S$ 的直线凸包的边界包含来自 $P$ 的最大数量点；(2) $P$ 的一个子集 $S$，使得 $S$ 的直线凸包的边界包含来自 $P$ 的最大数量点，且其内部不包含 $P$ 中的任何点；(3) $P$ 的一个子集 $S$，使得 $S$ 的直线凸包具有最大面积，且其内部不包含 $P$ 中的任何点；(4) 当 $P$ 中每个点被赋予正或负的权重时，$P$ 的一个子集 $S$，使得 $S$ 的直线凸包中点集的总权重最大。我们还重新审视了在矩形区域内的点集中计算最大面积正交凸多边形和最大面积阶梯多边形的问题。我们提出了新的、更简洁的算法来解决这两个问题，其复杂度与现有技术水平相同。