Recently, Letzter proved that any graph of order $n$ contains a collection $\mathcal{P}$ of $O(n\log^\star n)$ paths with the following property: for all distinct edges $e$ and $f$ there exists a path in $\mathcal{P}$ which contains $e$ but not $f$. We improve this upper bound to $19 n$, thus answering a question of Katona and confirming a conjecture independently posed by Balogh, Csaba, Martin, and Pluh\'ar and by Falgas-Ravry, Kittipassorn, Kor\'andi, Letzter, and Narayanan. Our proof is elementary and self-contained.

翻译：最近，Letzter 证明了任意 $n$ 阶图包含一个由 $O(n\log^\star n)$ 条路径组成的集合 $\mathcal{P}$，且具有以下性质：对于任意两条不同的边 $e$ 和 $f$，存在 $\mathcal{P}$ 中的一条路径包含 $e$ 但不包含 $f$。我们将这一上界改进为 $19n$，从而回答了 Katona 的一个问题，并证实了 Balogh、Csaba、Martin 和 Pluhár 以及 Falgas-Ravry、Kittipassorn、Korándi、Letzter 和 Narayanan 分别独立提出的猜想。我们的证明是初等且自包含的。