We consider extended $1$-perfect codes in Hamming graphs $H(n,q)$. Such nontrivial codes are known only when $n=2^k$, $k\geq 1$, $q=2$, or $n=q+2$, $q=2^m$, $m\geq 1$. Recently, Bespalov proved nonexistence of extended $1$-perfect codes for $q=3$, $4$, $n>q+2$. In this work, we characterize all positive integers $n$, $r$ and prime $p$, for which there exist such a code in $H(n,p^r)$. We also consider $2$-perfect codes in Hamming $H(n,q)$ and Johnson graphs $J(n,w)$ and find new necessary conditions on there existence.

翻译：本文研究汉明图 $H(n,q)$ 中的扩展 $1$-完美码。已知非平凡此类码仅存在于 $n=2^k$（$k\geq 1$，$q=2$）或 $n=q+2$（$q=2^m$，$m\geq 1$）的情形。近期，Bespalov 证明了当 $q=3$、$4$ 且 $n>q+2$ 时扩展 $1$-完美码不存在。本工作完整刻画了使 $H(n,p^r)$ 中存在此类码的所有正整数 $n$、$r$ 及素数 $p$ 需满足的条件。同时，我们考察了汉明图 $H(n,q)$ 与约翰逊图 $J(n,w)$ 中的 $2$-完美码，并发现了若干新的存在性必要条件。