In this paper, we propose two algorithms for a hybrid construction of all $n\times n$ MDS and involutory MDS matrices over a finite field $\mathbb{F}_{p^m}$, respectively. The proposed algorithms effectively narrow down the search space to identify $(n-1) \times (n-1)$ MDS matrices, facilitating the generation of all $n \times n$ MDS and involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{p^m}$. To the best of our knowledge, existing literature lacks methods for generating all $n\times n$ MDS and involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{p^m}$. In our approach, we introduce a representative matrix form for generating all $n\times n$ MDS and involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{p^m}$. The determination of these representative MDS matrices involves searching through all $(n-1)\times (n-1)$ MDS matrices over $\mathbb{F}_{p^m}$. Our contributions extend to proving that the count of all $3\times 3$ MDS matrices over $\mathbb{F}_{2^m}$ is precisely $(2^m-1)^5(2^m-2)(2^m-3)(2^{2m}-9\cdot 2^m+21)$. Furthermore, we explicitly provide the count of all $4\times 4$ MDS and involutory MDS matrices over $\mathbb{F}_{2^m}$ for $m=2, 3, 4$.

翻译：本文针对有限域 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上的 $n\times n$ 矩阵，分别提出了两种混合构造算法，用于生成所有MDS矩阵及所有对合MDS矩阵。所提算法通过有效缩小搜索空间，重点识别 $(n-1) \times (n-1)$ 阶MDS矩阵，从而促进生成 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有 $n \times n$ 阶MDS矩阵及对合MDS矩阵。据我们所知，现有文献尚缺乏在 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上生成所有 $n\times n$ 阶MDS矩阵及对合MDS矩阵的方法。在本研究中，我们引入了一种代表性矩阵形式，用于生成 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有 $n\times n$ 阶MDS矩阵及对合MDS矩阵。确定这些代表性MDS矩阵需遍历 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上所有 $(n-1)\times (n-1)$ 阶MDS矩阵。我们的贡献还包括证明了 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上所有 $3\times 3$ 阶MDS矩阵的数量精确等于 $(2^m-1)^5(2^m-2)(2^m-3)(2^{2m}-9\cdot 2^m+21)$。此外，我们明确给出了 $m=2, 3, 4$ 时 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上所有 $4\times 4$ 阶MDS矩阵及对合MDS矩阵的具体数量。