In this study, linear codes having their Lee-weight distributions over the semi-local ring $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$ with $u^{2}=1$ are constructed using the defining set and Gauss sums for an odd prime $q $. Moreover, we derive complete Hamming-weight enumerators for the images of the constructed linear codes under the Gray map. We finally show an application to secret sharing schemes.

翻译：在本研究中，利用定义集和高斯和，在奇素数 $q$ 下，于半局部环 $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$（其中 $u^{2}=1$）上构造了具有 Lee-重量分布的线性码。此外，我们推导了所构造线性码在 Gray 映射下像的完全 Hamming-重量枚举器。最后，我们展示了一个在秘密共享方案中的应用。